Schätzer Poissonverteilung

19.11.2011, 12:11	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Schätzer Poissonverteilung Meine Frage: Zeige, daß für $\begin{eqnarray} X_i, i=1,\hdots n \end{eqnarray}$ i.i.d. $\begin{eqnarray} \operatorname{Poi}(\mu) \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \hat \mu=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\sim \frac{1}{n}\operatorname{Poi}(n\mu) \end{eqnarray}$ . Die Verteilung von $\begin{eqnarray} \overline{X} \end{eqnarray}$ besitzt den Träger $\begin{eqnarray} \left\{\frac{k}{n}:k\in\mathbb N_0\right\} \end{eqnarray}$ und die Zähldichte $\begin{eqnarray} P\left\{\hat \mu=\frac{k}{n}\right\}=\frac{1}{k!}e^{-n\mu}(n\mu)^k \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Naja, da der Erwartungswert bei der Poissonverteilung gleich dem Parameter der Poissonverteilung ist, kann man als Schätzer $\begin{eqnarray} \hat\mu \end{eqnarray}$ für den Parameter $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ den beliebten Schätzer des Erwartungswerts (nämlich das arithmetische Mittel) benutzen, hat also: $\begin{eqnarray} \hat\mu=\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i \end{eqnarray}$ . Nun gilt ja aufgrund der Reproduktivität der Poissonverteilung (und weil die $\begin{eqnarray} X_i \end{eqnarray}$ unabhängig und identisch verteilt sind): $\begin{eqnarray} X_1+X_2+\hdots+X_n\sim \operatorname{Poi}(n\cdot\mu) \end{eqnarray}$ . Gilt dann auch $\begin{eqnarray} \frac{1}{n}(X_1+\hdots X_n)\sim \frac{1}{n}\operatorname{Poi}(n\cdot\mu) \end{eqnarray}$ und wenn ja, wie begründet sich das? Und was meint man hier mit "Träger"?

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »