Konvergenz einer Reihe (Quot.krit?)

19.11.2011, 12:40	MangoOrange	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz einer Reihe (Quot.krit?) Ich weiß nicht genau welches Kriterium ich bei dieser Aufgabe benutzen soll? Welche Reihe Konvergiert. Begründen Sie Ihre Aussage! a) $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{3^n-n^2}{4^n-1} \end{eqnarray}$ ... Ich würde an dieser Stelle das Quotientenkriterium anwenden, also: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \| \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \| = \lim_{n \to \infty } \| \frac{(3^{n+1}-(n+1)^2)(4^n-1)}{(4^{n+1}-1)(3^n -n^2)} \| \end{eqnarray}$ Ist es sinnvoll damit weiter zuarbeiten?
19.11.2011, 12:44	fleurita	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz einer Reihe (Quot.krit?) hmm wir sind auch grad bei dem thema und ich fühl mich da auch noch nicht so sicher. aber ist es glaub nicht sinnvoll mit dem ansatz weiter zu machen, weil sowohl nenner als auch zähler gegen $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ uneigentlich konvergieren bzw. der nenner gegen 0
19.11.2011, 13:45	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz einer Reihe (Quot.krit?) Das Konvergenzverhalten der geometrischen Reihe ist bekannt, nehme ich an? Dann kann man eigentlich auch sehr schön abschätzen (also Majorantenkriterium anwenden).
19.11.2011, 14:52	MangoOrange	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Ja das Konvergenzverhalten der geo. Reihe ist bekannt. Werde die Rechung später durchführen! Danke!!
20.11.2011, 23:26	MangoOrange	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich habe mir die geo. Reihe angeschaut und versucht ein bezug herzustellen, aber noch hat es nicht wirklich geklappt. Unterdessen habe ich es mit dem Majorantenkriterium versucht und folgendes "bewältigt": $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty%20%20%20\frac{3^n-n^2}{4^n-1} \end{eqnarray}$ Für genügend große $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} 3^n > n^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 4^n > -1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow a_n = \frac{3^n}{4^n} \leq \frac{2^n}{4^n} \end{eqnarray}$ anschließen die nte Potenz mit $\begin{eqnarray} \frac{\sqrt[n]{}}{\sqrt[n]{}} \end{eqnarray}$ eliminiert $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \frac{3}{4} \geq \frac{2}{4} \end{eqnarray}$ nun mal 4 genommen $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow 3 \geq 2 \end{eqnarray}$ Sieht komisch aus, aber ich wüsste nun nicht weiter. Kann wohl kaum sagen, dass nach dem majorantenkriterium die reihe konvergiert?
21.11.2011, 00:07	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Abschätzen sehen teilweise etwas eigenartig aus. Und wie willst du da die "Potenz eliminieren"? Die kannst du doch nicht einfach wegkürzen??? Also ich gebe mal zwei mögliche Abschätzungen: $\begin{eqnarray} -n^2 <0 \quad \text{und} \quad 4^n-1 > 4^n- \frac{4^n}{2} \end{eqnarray}$ Immer bedenken: Den Zähler darfst du vergrößern, den Nenner verkleinern. Übrigens noch eine Anmerkung zum Quotientenkriterium: Manchmal bietet es sich auch an, die verschiedenen Konvergenzkriterien zu verknüpfen. Niemand zwingt dich, immer nur eins zu verwenden. Du hast da oben mit dem Quotientenkriterium einen ziemlich fiesen Ausdruck gebastelt. Man kann auch sich erst eine Majorante überlegen und DANN das Quotientenkriterium verwenden. Und zwar dann so eine Majorante, bei der man weiß oder erahnt, dass sich dann bei der Anwendung des Quotientenkriteriums etwas viel schöneres ergeben würde. Man kann da unendlich viel tricksen.
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