Beweis Körper

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19.11.2011, 13:17	Julia191919	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Körper Meine Frage: Hallo, ich soll folgende Aufgabe berechnen: Es seien (K, +, ) ein Körper und x,y $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ K. Nun soll ich folgendes beweise: Für alle n $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} x^{n} - y^{n} = (x-y) \cdot \sum\limits_{k=0}^{n-1} x^{k} y^{n-1-k} \end{eqnarray}$ Meine Ideen:* Kann mir bitte jemand nen Ansatz zeigen? Ich verstehe wirklich nicht, wie das funktionieren soll. Ich soll mit der rechten Seite beginnen. Danke für eure Hilfe! :-)
19.11.2011, 13:20	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du die Klammer (nach dem Distributivgesetz) in die Summe bringst, und ausmultiplizierst, so erhältst du eine Teleskopsumme. Alternativ halt Induktion. Die Aussage müsste übrigens schon in jedem kommutativen Ring gelten.
19.11.2011, 13:24	Julia191919	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe trotzdem immer noch nicht wie das ganze funktioniert, komme mit der Aufgabe kein bisschen klar Kannst du mir zeigen wie das funktioniert? ich tu mich echt schwer damit!
20.11.2011, 11:06	Julia191919	Auf diesen Beitrag antworten »
Weiß denn jemand wie diese Aufgabe zu lösen ist? Bitte kann mir jemand helfen?
20.11.2011, 11:08	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann wende doch erst mal, wie tmo das schon vorgeschlagen hat, das Distributivgesetz an, was erhälst du?
20.11.2011, 11:18	Julia191919	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich habe es jetzt mal mit Induktion versucht. Induktionsanfang: n = 1 $\begin{eqnarray} (x-y) \sum\limits_{k=0}^1 x^{k} y^{n-k} = ... = x²-y² \end{eqnarray}$ Induktionsschritt: n -> n+1 Wenn die Beh. wahr ist gilt: $\begin{eqnarray} x^{n} y^{n} (a-b) \sum\limits_{k=0}^{n-1} a^{k} b^{n-1-k} \end{eqnarray}$ Zu zeigen dann $\begin{eqnarray} x^{n+1} y^{n+1} (a-b) \sum\limits_{k=0}^{n} a^{k} b^{n-k} \end{eqnarray}$ Weiter komme ich nicht. Ich muss ja jetzt hinten die Summanden herausziehen und es auf folgendes bringen $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{n-1} x^{k} y^{n-1-k} \end{eqnarray}$ Anschließend muss ich ja dann die Induktionsvoraussetzung anwenden. Wie geht das denn? Könnte mir das jemand mal zeigen bitte? Edit lgrizu: Die Latex-Tabs bitte nur an den Anfang und das Ende der einzubindenen Latex-Befehle setzen, nicht den ganzen Text in Latex-tabs setzen, korrigiert
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20.11.2011, 11:35	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du den Induktionsanfang bei n=1 machst, dann sollte da auch $\begin{eqnarray} x-y \end{eqnarray}$ herauskommen und nicht $\begin{eqnarray} x^2-y^2 \end{eqnarray}$ , also ist bereits der Anfang falsch. Wo kommen deine a und b auf einmal her? Nun ist zu zeigen, dass das ganze auch für n+1 gilt, also $\begin{eqnarray} (x-y) \cdot \sum\limits_{k=0}^{n} x^ky^{n-k} \end{eqnarray}$ Ziehe hier erst einmal den n-ten Summanden aus der Summe heraus.
20.11.2011, 12:03	Julia191919	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, da hat sich bei mir wohl ein Tippfehler eingeschlichen. Ich stehe wirklich im Moment auf dem Schlauch und komme nicht weiter. Ich bräuchte mal einen Ansatz, um zu sehen wie das überhaupt funktioniert.
20.11.2011, 12:12	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Na, Klammere erst mal aus der obigen Summe das n-te Element aus, das ist doch schon mal ein Ansatz, was erhälst du dann?
20.11.2011, 12:39	Julia191919	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich komm damit irgendwie nicht klar! Muss man das logarithmieren?
20.11.2011, 12:41	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht logarithmieren, einfach ein Element aus der Summe ziehen. Es ist doch $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^n k =\left(\sum\limits_{k=0}^{n-1}k \right)+n \end{eqnarray}$ , hier wrde das n-te Element aus der Summe herausgezogen, das selbe machst du nun mit der Summe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^n x^ky^{n-k} \end{eqnarray}$ .
20.11.2011, 12:51	Julia191919	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt das? $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{n-1} x^{k} y^{n-1-k} \end{eqnarray}$
20.11.2011, 12:59	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Was stimmt so? Das ist deine Summe vom Anfang. Das kann doch nicht sein, dass du aus einer Summe nicht einen Summanden herausziehen kannst. Es ist $\begin{eqnarray} (x-y) \cdot \sum\limits_{k=0}^n x^ky^{n-k}=(x-y) \cdot \left( \left(\sum\limits_{k=0}^{n-1} x^k y^{n-k} \right)+ x^n \cdot y^{n-n} \right) \end{eqnarray}$ . So, nun aus der Summe, die noch da steht ein y herausziehen, damit man die Vorraussetzung anwenden kann.

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