Unbestimme Integrale

19.11.2011, 13:21

Zef

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Unbestimme Integrale

Meine Frage:
Hallo,

ich hab hier ein Aufgabe mit der ich einfach nichts anzufangen weiß. Ich soll das unbestimmte Integral berechnen, aber wie?

$\begin{eqnarray*} <br /> \int \! 3 e^{-4x} dx<br /> \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Was für eine Regel muss man hier anwenden, bitte ich brauch dringend hilfe! Ich weiß nicht von Vorne und Hinten ist...ich bin verzweifelt.

19.11.2011, 13:30

lgrizu

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RE: Unbestimme Integrale
Sollst du das unbestimmte Integral $\begin{eqnarray*} \int_0^{\infty} \end{eqnarray*}$ berechnen?

Dazu betrachte $\begin{eqnarray*} \lim_{z \to \infty} \int_0^z f(x) dx \end{eqnarray*}$

19.11.2011, 13:34

Zef

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Im Buch ist das Intervall nicht angeben.

19.11.2011, 13:35

Mulder

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RE: Unbestimme Integrale

Zitat:

Original von lgrizu
Sollst du das unbestimmte Integral $\begin{eqnarray*} \int_0^{\infty} \end{eqnarray*}$ berechnen?

Das wäre uneigentlich, nicht unbestimmt. verwirrt

verwirrt

19.11.2011, 13:46

Zef

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verwirrt

19.11.2011, 13:56

lgrizu

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RE: Unbestimme Integrale

Zitat:

Original von Mulder

Zitat:

Original von lgrizu
Sollst du das unbestimmte Integral $\begin{eqnarray*} \int_0^{\infty} \end{eqnarray*}$ berechnen?

Das wäre uneigentlich, nicht unbestimmt. verwirrt

verwirrt

Hups, tatsächlich, ein wenig schnell gelesen.....

Es geht also "nur" darum, eine Stammfunktion zu bestimmen.

Wie schaut denn eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ aus?

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19.11.2011, 14:04

Zef

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Wie ich das weiß belibt es zu $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$

19.11.2011, 14:18

lgrizu

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Jap, das ist richtig.

Nun ist die Ableitung einer Stammfunktion gerade wieder die Ausgangsfunktion. Wie schaut die Ableitung von $\begin{eqnarray*} 3e^{-4x} \end{eqnarray*}$ aus?

19.11.2011, 14:19

Zef

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$\begin{eqnarray*} e^{-4x} \end{eqnarray*}$ oder?

19.11.2011, 14:21

lgrizu

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Nein, du musst die Kettenregel anwenden.

19.11.2011, 14:28

Zef

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Ja genau und das ist mein Problem wie mach ich das? Die Kettenfunktion lautet ja

f (x)= u (v(x)) => f'(x)= u' (v(x)) * v'(x)

Wie soll ich die anwenden?

19.11.2011, 14:31

lgrizu

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Was ist denn bei deiner Funktion dein v(x), was dein u(x)?

19.11.2011, 14:36

Zef

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v(x)= 3

u(x)= e^-4x

19.11.2011, 14:49

lgrizu

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Nein, das ist nicht richtig.

Die 3 lassen wir erst einmal weg und betrachten nur $\begin{eqnarray*} e^{-4x} \end{eqnarray*}$ .

Dann ist $\begin{eqnarray*} v(x)=-4x \end{eqnarray*}$ , die Ableitung der e-Funktion ist wieder die e-Funktion, also schaut die Ableitung wie aus?

19.11.2011, 14:58

Zef

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Dann muss also
$\begin{eqnarray*} <br /> u(x)=3e<br /> v(x)=-4x<br /> \end{eqnarray*}$
Daraus folgt
$\begin{eqnarray*} <br /> u'(x)=e<br /> v'(x)=-4<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> f'(x)= e (-4x) \cdot -4<br /> \end{eqnarray*}$

19.11.2011, 15:01

Zef

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Zitat:

Original von Zef
Dann muss also
$\begin{eqnarray*} <br /> u(x)=3e<br /> v(x)=-4x<br /> \end{eqnarray*}$
Daraus folgt
$\begin{eqnarray*} <br /> u'(x)=e<br /> v'(x)=-4<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> f'(x)= e (-4x) \cdot -4<br /> \end{eqnarray*}$

Ich muss mich korrigieren. Die u'(x) lautet nicht e sondern 3e.
$\begin{eqnarray*} <br /> f'(x)= 3e (-4x) \cdot -4<br /> f'(x)= - e^{-4x}<br /> \end{eqnarray*}$

19.11.2011, 16:24

Zef

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Kann das richtig sein?

20.11.2011, 00:34

lgrizu

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Die Ableitung von $\begin{eqnarray*} f(x)=e^{-4x} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f'(x)=-4 \cdot e^{-4x} \end{eqnarray*}$ .

Nun haben wir noch die 3, also für $\begin{eqnarray*} f(x)=3e^{-4x} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f'(x)=-12e^{-4x} \end{eqnarray*}$ .

Wir multiplizieren also beim Ableiten mit -4. Wir suchen nun eine Funktion, die abgeleitet $\begin{eqnarray*} f(x)=3 e^{-4x} \end{eqnarray*}$ ergibt, also muss das ganze noch mit dem Kehrwert von (-4) "korrigiert" werden.

20.11.2011, 11:51

Zef

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Danke für deine Antwort. Aber was genau wäre jetzt u(x) und v(x)? Das hab nicht so ganz verstanden.

v (x) ist ja -4x und was ist jetzt u (x)?

20.11.2011, 11:57

lgrizu

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Wir betrachten das einmal anders, ein u(x) existiert ja eigentlich gar nicht, sondern ein u(v(x)). Wir setzen einmal $\begin{eqnarray*} y=-4x \end{eqnarray*}$ . Dann haben wir $\begin{eqnarray*} y'=-4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(y)=e^y \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} f'(y)=e^y \end{eqnarray*}$ .

Nun setzen wir das ganze in die Kettenregel ein, also $\begin{eqnarray*} (f(y))'=f'(y) \cdot y' \end{eqnarray*}$ und erhalten:

$\begin{eqnarray*} (f(y))'=e^y \cdot -4 \end{eqnarray*}$ . Nun setzen wir wieder "rückwärts" ein, also das y, was dann $\begin{eqnarray*} f'(x)=e^{-4x} \cdot (-4) \end{eqnarray*}$ ergibt.

Statt u(v(x)) habe ich v(x)=y benutzt.

Die Kettenregel sagt auch nicht aus: $\begin{eqnarray*} (u(v(x)))'=u'(x) \cdot v'(x) \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} (u(v(x)))'=u'(v(x)) \cdot v'(x) \end{eqnarray*}$ .

Vielleicht ist es mit dem y etwas anschaulicher.....

20.11.2011, 12:17

Zef

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Ok, ich verstehe. Also wär die Stammfunktion $\begin{eqnarray*} f '(x)-12 e^{-4x} \end{eqnarray*}$

20.11.2011, 12:24

lgrizu

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Nein, das ist die Ableitung.

Wir müssen nun die Ausgangsfunktion so "korrigieren", dass beim Ableiten (also bei der multiplikation mit (-4)) die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=3e^{-4x} \end{eqnarray*}$ entsteht. Wir suchen also einen Faktor a, so dass $\begin{eqnarray*} F(x)=a e^{-4x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F'(x)=f(x)=3e^{-4x} \end{eqnarray*}$ .

Wie schaut nun die Ableitung von $\begin{eqnarray*} F(x)=a e^{-4x} \end{eqnarray*}$ aus (das hatten wir ja schon).

Wie schaut also a aus?

20.11.2011, 12:30

Zef

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Ja die Ableitung wäre dann

$\begin{eqnarray*} F '(x) = a \cdot (-4x) e^{-4x4} \end{eqnarray*}$

20.11.2011, 12:31

lgrizu

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Genau, und nun soll a*(-4)=3 sein, wie groß ist also a?

20.11.2011, 12:39

Zef

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a = -0.75 ?

20.11.2011, 12:44

lgrizu

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Genau.

Un wenn wir uns die Funktion $\begin{eqnarray*} F(x)=-\frac{3}{4} e^{-4x} \end{eqnarray*}$ anschauen und diese Ableiten, so sehen wir, dass das genau die Funktion f(x) ist, also ist F(x) eine Stammfunktion von f(x).

Was noch fehlt ist eine mögliche Konstante, die beim Ableiten verschwindet.

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