Grenzwert von Folgen bestimmen

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19.11.2011, 15:53	Albo	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert von Folgen bestimmen Hallo ich hab hier ne aufgabe aus ner hausarbeit und dazu hab ich eine kleine verständnisfrage: Die aufgabe lautet: Untersuchen Sie die Folge $\begin{eqnarray} \left\{a_{n}\right\} \end{eqnarray}$ auf Konvergenz und ermitteln Sie ggf. den Grenzwert der Folge: $\begin{eqnarray} a_{n}:=\frac{n^4+e^{in} }{\sqrt{n^4-n^3} } \end{eqnarray}$ Was mir jetzt nicht ganz klar ist, ist dieses $\begin{eqnarray} e^{in} \end{eqnarray}$ . Ist das die e-Funktion oder ist das eine komplexe zahl in Polarkoordinaten. Wenn letzteres zutreffen würde, wäre das hier richtig ? : $\begin{eqnarray} a_{n}:=\frac{n^4+e^{in} }{\sqrt{n^4-n^3} }= \frac{n^2+\cos(n)+i\sin(n) }{\sqrt{n^4}\sqrt{1-\frac{n^3}{n^4} } } = \frac{1+\frac{\cos(n) }{n^2}+\frac{isin(n)}{n^2} }{n^2\sqrt{1-\frac{1}{n} } }=0 \end{eqnarray}$ , da der limis von $\begin{eqnarray} \frac{1}{n^2}=o \end{eqnarray}$ Mit freundlichen Grüßen
19.11.2011, 16:08	maraska	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kommst du im Nenner von n^4 auf n^2? Außerdem musst du, wenn du den Zähler mit 1/n^2 erweiterst, den selben schritt auch im Nenner machen, sonst veränderst du den Wert.
19.11.2011, 16:39	Albo	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen dank erstmal für die sehr schnelle antwort ! Oh man was hab ich da gemacht :S Ich habs nochmal gerechnet und hoffe jetzt hab ich nicht mehr so dumme fehler drin : $\begin{eqnarray} a_{n}:=\frac{n^2+e^{in} }{\sqrt{n^4-n^3} }= \frac{n^2+\cos(n)+i\sin(n) }{\sqrt{n^4(1-\frac{n^3}{n^4}) } }=\frac{n^2(1+\frac{cos(n)}{n^2}+\frac{isin(n)}{n^2}) }{\sqrt{n^4}\sqrt{1-\frac{n^3}{n^4} } }= \frac{n^2(1+\frac{cos(n)}{n^2}+\frac{isin(n)}{n^2}) }{n^2\sqrt{1-\frac{1}{n} } }= \end{eqnarray}$ Wenn man jetzt n--> unendlich laufen lässt, müsste dann gleich 1 rauskommen, weil die n^2 sich rauskürzen und die anderen terme, wo ein n enthalten ist 0 werden. Wie kann ich beweisen dass $\begin{eqnarray} \frac{isin(n)}{n^2} \end{eqnarray*}$ auf den grenzwert n gegen unendlich bezogen auch gleich null wird, das ist doch der imaginärteil einer komplexen zahl ? lg
19.11.2011, 16:48	maraska	Auf diesen Beitrag antworten »
hast du laut Angabe im Zähler n^2 oder n^4? Ansonsten ist der Lösungsweg richtig. Was willst du daran Beweisen, wenn n gegen Unendlich läuft wird der Nenner immer größer und daher der Gesamte Bruch immer kleiner, egal ob es wie hier mit dem Sinus alterniert, und auch eine endlich große komplexe Zahl geht gegen 0, wenn ich sie durch Unendlich dividiere.
19.11.2011, 17:22	Albo	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey laut angabe ist da ein n^2, tut mir leid hab mich vertippt... Danke für deine erläuterungen, hat mir echt geholfen
20.11.2011, 01:43	maraska	Auf diesen Beitrag antworten »
kein problem
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20.11.2011, 13:54	egal0000	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab noch mal eine Frage. Wie du schon gesagt hast kürzen sich die $\begin{eqnarray} n^{2} \end{eqnarray}$ raus. Dann steht unter'm Bruchstrich aber nur noch: $\begin{eqnarray} \sqrt{\lim_{n \to \infty } 1 - \lim_{n \to \infty } \frac{1}{n} } \end{eqnarray}$ Wobei wir ja bei 1-0=1 wären. Also ist doch dann der Grenzwert $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ -> Folge ist divergent?
21.11.2011, 22:19	Albo	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja der lim von 1, n gegen unendlich ist 1, demnach haben wir eine wurzel aus 1 und das ist gleich 1.
22.11.2011, 08:59	egal0000	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt. Manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr...

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