Volumen eines Kegels

08.01.2007, 16:42	glocke	Auf diesen Beitrag antworten »
Volumen eines Kegels Hallo Gemeinde, es wäre nett, wenn mir jemand bei folgender Aufgabe auf die Sprünge helfen würde: Berechnen Sie das Volumen des Kegels $\begin{eqnarray} K:=\{ v\in \mathbb R^3 : x^2+y^2 \leq z^2, 0 \leq z \leq b\} \end{eqnarray}$ Die Aufgabe wurde im Rahmen einer Analysis 2 Vorlesung gestellt und soll durch Mehrfachintegration gelöst werden. Folgender Ansatz ist mir bekannt: $\begin{eqnarray} \|K\|=\int_{K}^{}~1~d(x,y,z) \end{eqnarray}$ (denn K ist ein Jordanbereich), also müsste müsste das irgendwie so aussehen: $\begin{eqnarray} \int_{0}^{b} (\int_{?}^{?}(\int_{?}^{?}~1~dx) dy) dz \end{eqnarray}$ wobei die Fragezeichen selbstredend sind... Dass $\begin{eqnarray} \frac{1}{3} \pi z^3 \end{eqnarray}$ herauskommt, ist hoffentlich richtig. Viele Grüße Glocke
08.01.2007, 16:51	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Nimm als äußere Integration die über $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ . Die innere Integration würde ich nicht über $\begin{eqnarray} x,y \end{eqnarray}$ getrennt nehmen, sondern über $\begin{eqnarray} (x,y) \end{eqnarray}$ gehen lassen: $\begin{eqnarray} \int_{\ldots}^{\ldots}~\left( \int_{\ldots}~\ldots~\mathrm{d}(x,y) \right)~\mathrm{d}z \end{eqnarray}$ Beachte, daß bei festem $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ die Ungleichung $\begin{eqnarray} x^2 + y^2 \leq z^2 \end{eqnarray}$ nichts anderes als die Fläche eines Kreises vom Radius $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ beschreibt. Und die Formel dafür sollte bekannt sein. Und das Ergebnis kann natürlich nicht von $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ abhängen
08.01.2007, 17:03	glocke	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort, doch das habe ich bereits. Es ist jedoch ausdrücklich gewünscht, dass über jede Variable einzeln integriert wird, mit der dazugehörigen Substitution (sin bzw cos) um auf diese Art und Weise das Pi herbeizuzaubern. Greez Glocke PS: das z da oben soll natürlich ein b sein...
08.01.2007, 17:25	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun ja, dann mußt du eben den Beweis für die Kreisformel, der sicher in der Vorlesung dran war, noch einmal nachplappern. Fasse $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ als Parameter auf und führe Polarkoordinaten ein: $\begin{eqnarray} x = r \cos{\varphi} \, , \ \ y = r \sin{\varphi} \end{eqnarray}$ Oder äußere Integration über $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} -z \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ und innere Integration über $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} - \sqrt{z^2 - y^2} \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} \sqrt{z^2 - y^2} \end{eqnarray}$
08.01.2007, 18:58	glocke	Auf diesen Beitrag antworten »
Könntest Du zur Parametrisierung noch den einen oder anderen Hinweis liefern ? Das wurde bei uns in der Vorlesung nur stiefmütterlich auf einer Tafel behandelt... Grüße Glocke

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