Vektorraum, Erzeugendensystem, Basis

19.11.2011, 16:53	LIABEZBA	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorraum, Erzeugendensystem, Basis Meine Frage: Ich habe als Vektorraum den RR^3 und drei Vektoren gegeben nun soll ich überprüfen, ob diese Vektoren linear abhänigig Erzeugendensysteme oder Basen sind. Meine Ideen: Kann mir jemand theoretisch erklären wie ich das jetzt machen muss. Am besten 1)für linear abhängig 2)ERzeugendensystem 3)Basis. Das wäre super.
20.11.2011, 10:22	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
n Vektoren $\begin{eqnarray} v_1,...,v_n \end{eqnarray}$ heißen linear abhängig, wenn es von 0,...,0 verschiedene $\begin{eqnarray} a_1,...,a_n \end{eqnarray}$ gibt, so dass die Gleichung $\begin{eqnarray} a_1v_1+...+a_nv_n=0 \end{eqnarray}$ gilt. Sonst heißen die Vektoren linear unabhängig. Eine Menge M von Vektoren eines Vektorraums heißen ein Erzeugendensystem des Vektorraums, wenn sich jedes Element des Vektorraums als Linearkombination der Menge M darstellen lässt. Ein linear unabhängiges Erzeugendensystem ist eine Basis. Praktisch benutzt man den Gauss-Algorithmus, um den Rang der Matrix zu berechnen, die die gegebenen Vektoren als Zeilen oder Spalten enthält.
20.11.2011, 13:22	LIABEZBA	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich jetzt v1=(-1,0,1)^T, v2=(2,1,1)^T und v3=(1,1,1)^T habe und diese auf linere abhängigkiet prüfen soll dann versuche ich doch v1 darzustellen durch v2 und v3 richtig? (-1,0,1)^T=a(2,1,1)^T+b(1,1,1)^T und wie berechne ich das dann?
20.11.2011, 13:25	LIABEZBA	Auf diesen Beitrag antworten »
Als Gleichungssystem bekomme ich dann folgendes: -1=2a+1b 0=1a+1b 1=1a+1b die letzten beiden zeilen müssten das gleiche ergeben tuen sie aber nicht deshalb sind die Vektoren nicht linear abhängig ist das richtig?
20.11.2011, 13:32	LIABEZBA	Auf diesen Beitrag antworten »
Als Gleichungssystem bekomme ich dann folgendes: -1=2a+1b 0=1a+1b 1=1a+1b die letzten beiden zeilen müssten das gleiche ergeben tuen sie aber nicht deshalb sind die Vektoren nicht linear abhängig ist das richtig? Für v2=av1+bv3 2=-1a+1b 1=1b 1=1a+1b da erhalte ich ebenfalls keine Lösung v3=av1v2 1=-1a+2b 1=1b 1=1a+1b da erhalte ich auch keine Lösung kann ich jetzt insgesamt sagen, dass alle drei vektoren linear unabhängig sind?
20.11.2011, 13:48	LIABEZBA	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei dem Erzeugendensystem habe ich das jetzt so verstanden, dass av1+bv2+c*v3=0 gelten muss da habe ich das Gleichungssystem aufgestellt und es in Zeilenstufenform gebracht und habe nun folgendes raus 1 0 0 0 1 0 0 0 1 kann mir jemand bei der interpretation des ergebnisses helfen?
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21.11.2011, 18:40	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Zeilenstufenform ist das Ergebnis des Gauss-Algorithmus. Der Rang der Matrix ist 3, also sind die 3 Vektoren linear unabhängig. Im Vektorraum der Dimension 3 sind 3 linear unabhängige Vektoren eine Basis. Anmerkung: Man erkennt den Rang schon, wenn man eine Dreiecksmatrix hergestellt hat, das ist nur die "halbe" Arbeit.

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