Konvergenz Folge (1-(1/2n))^n

19.11.2011, 16:58

LAgirly

Konvergenz Folge (1-(1/2n))^n

Meine Frage:
Hallo zusammen,

meine Aufgabe ist es die Folge a_n=(1-(1/2n))^n auf Konvergenz zu untersuchen.

Meine Ideen:
Leider komm ich da nicht so ganz weiter, obwohl ich denke, dass die Aufgabe vermutlich gar nicht so schwer ist...

Bisher waren die Folgen immer so, dass man Fälle für n gerade und n ungerade unterscheiden konnte, da ein (-1)^n vorhanden war. Das ist hierbei ja nun leider nicht der Fall.

Ich habe versucht die Folge umzuformen, um Bekanntes anzuwenden. Dies habe ich wie folgt gemacht:
a_n = (1-(1/2n))^n = ((2n/2n)-(1/2n))^n = (2n-1)^n/((2n)^n) = (1/((2n)^n))*(2n-1)^n
Das bringt mich aber ehrlich gesagt bisher auch nicht weiter.
Eine weitere Überlegung war, dass ich irgendwie benutzen kann, dass (1+(1/n))^n gegen e konvergiert. Aber auch das bringt mich nicht weiter...

Ich würde mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen könnte!

Viele Grüße und danke schonmal im Voraus!

19.11.2011, 17:26

original

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RE: Konvergenz Folge (1-(1/2n))^n

Zitat:

Original von LAgirly

.. die Folge a_n=(1-(1/2n))^n auf Konvergenz zu untersuchen.

Eine weitere Überlegung war, dass ich irgendwie benutzen kann,
dass (1+(1/n))^n gegen e konvergiert. Aber auch das bringt mich nicht weiter... verwirrt

$\begin{eqnarray*} \left(1-\frac{1}{2n} \right)^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{-2n} \right)^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{m} \right)^{- \frac{m}{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left[\left(1+\frac{1}{m} \right)^m \right]^{ ? } \end{eqnarray*}$

usw..

...?

19.11.2011, 17:36

LAgirly

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Erstmal vielen Dank!

((1+(1/m))^m)^(-1/2)
Und das konvergiert dann folglich gegen e^(-1/2) also gegen. Ist das so richtig?

19.11.2011, 17:50

original

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Zitat:

Original von LAgirly
Erstmal .. smile

((1+(1/m))^m)^(-1/2)
Und das konvergiert dann folglich gegen e^(-1/2) also gegen. verwirrt

Ist das so richtig?

.. ja :

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{e} } \end{eqnarray*}$

-

19.11.2011, 17:57

LAgirly

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Oh super, vielen vielen Dank für die Hilfe!

War ja eigentlich gar nicht so schwer, aber natürlich musste man erstmal auf die Idee kommen! smile

23.11.2011, 22:59

tr33burn

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Bzgl der Folge oben

Wenn man -2n durch m substituiert und dann den limes n gegen unendlich bildet, dann geht m gegen negativ unendlich.

Also ist es entweder generell irrelevant, ob man den limes gegen + oder - unendlich bildet, oder nur in diesem Fall.
Wie lässt sich das dann zeigen (erstes oder zweites)?

Vielleicht kann mir jemand helfen.

Viele Grüße

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