Leibniz-Kriterium

19.11.2011, 17:09	Traumtänzerin	Auf diesen Beitrag antworten »
Leibniz-Kriterium Meine Frage: Sei { $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ } monoton fallend mit $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ --> 0. Man zeige : a) Die Reihe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} an \end{eqnarray}$ ist konvergent. b) $\begin{eqnarray} \forall n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ gilt : $\begin{eqnarray} \| s -s_{n} \| \leq a_{n+1} \end{eqnarray}$ wobei gilt : $\begin{eqnarray} s_{n}:= \sum\limits_{k=1}^n (-1)^{k-1}a_{k} \end{eqnarray}$ , und s := $\begin{eqnarray} s := \sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^{k-1}a_{k} \end{eqnarray}$ Hinwiese : Zu a) Zeigen Sie, dass die Teilfolge { $\begin{eqnarray} s_{2n} \end{eqnarray}$ } monoton und von oben beschränkt ist. Zu b) Zeigen Sie, dass die Teilfolge { $\begin{eqnarray} s_{2n+1} \end{eqnarray}$ } monoton fällt und dass $\begin{eqnarray} s_{l}\leq s_{m} \end{eqnarray}$ gilt für alle geraden l und alle ungeraden m. Untersuchen Sie $\begin{eqnarray} s_{n+p} - s_{n} \end{eqnarray}$ für n gerade und p ungerade, ... Meine Ideen: Leider bin ich mit der ganzen Aufgabe etway überfordert. Ich durchschaue irgendwie nicht, wie ich zeigen kann, dass die Reihe in a) konvergent ist, ohne wirklich eine Folge zu haben ? Und wo die teilfoge { $\begin{eqnarray} s_{2n} \end{eqnarray}$ } plötzlich herkommen soll, ist mir auch nicht klar. Noch weniger versteh ich deswegen Teil b) Ist s nun eine feste zahl, und damit der Grenzwert und { $\begin{eqnarray} s_{2n} \end{eqnarray}$ } wieder die selbe ominöse Teilfoge aus a) ? Wäre für Hilfe dankbar.
20.11.2011, 12:04	Traumtänzerin	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Leibniz-Kriterium Niemand ?? Ich versteh nicht, was ich bei a) noch großartig zeigen soll? Ist nicht gerade die Bedinung dafür das die alternierende Reihe konvergent ist, das $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ gegen 0 konvergiert und monoton fällt? Aber das ist mir doch schon gegeben worden?

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