Vollständige Induktion nicht möglich?

19.11.2011, 18:01

lösungsfinder

Vollständige Induktion nicht möglich?

Meine Frage:
Hallo,

ich möchte zeigen, dass $\begin{eqnarray*} (a-b)|(a^{n} - b^{n}) \end{eqnarray*}$ für alle nEN\{0} gilt.

Meine Ideen:
zuerst habe ich an die Vollständige Induktion gedacht, damit bin ich aber schnell gescheitert.

Induktionsanfang:
n=1
$\begin{eqnarray*} (a-b)|(a^{1} - b^{1}) \Leftrightarrow (a-b)|(a-b) \end{eqnarray*}$ also richtig

Induktionsschritt
$\begin{eqnarray*} (a^{n+1} - b^{n+1}) = (a * a^{n} - b * b^{n}) \end{eqnarray*}$
tja und weiter geht da nichts mehr... oder???

Daraufhin habe ich es so versucht:

Wenn $\begin{eqnarray*} (a-b)|(a^{n} - b^{n}) \end{eqnarray*}$ gilt muss es ein xEN* geben für das gilt:
$\begin{eqnarray*} \frac{(a^{n} - b^{n})}{(a-b)} = x \end{eqnarray*}$
jetzt noch multiplizieren mit (a-b) und ich habe:
$\begin{eqnarray*} (a^{n} - b^{n}) = x(a-b) \end{eqnarray*}$
und noch durch x teilen und es bleibt:
$\begin{eqnarray*} \frac{(a^{n} - b^{n})}{x} = (a-b) \end{eqnarray*}$
und das heißt, es gibt in xEN* das $\begin{eqnarray*} (a^{n} - b^{n}) \end{eqnarray*}$ teilt und als Ergebnis (a-b) übrig bleibt.

Nur habe ich doch damit noch nicht gezeigt, dass dieser Ausdruck $\begin{eqnarray*} (a-b)|(a^{n} - b^{n}) \end{eqnarray*}$ gilt oder?

19.11.2011, 18:06

HAL 9000

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kein Text weiter
$\begin{eqnarray*} a^{n+1}-b^{n+1} = a\left( a^{n}-b^{n} \right) + (a-b)b^n \end{eqnarray*}$

19.11.2011, 18:20

lösungsfinder

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Hi

Vielen dank, da währe ich niemal darauf gekommen $\begin{eqnarray*} -ab^{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} +ab^{n} \end{eqnarray*}$ dazuzunehmen. ;-)

19.11.2011, 20:07

lösungsfinder

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Jetzt habe ich aber doch noch ein anderes Problem:

Wenn ich jetzt die Behauptung für Minus aufgestellt habe wollte ich sie auch für Plus Prüfen. Nur irgendwie funktioniert das nicht!

Behauptung: $\begin{eqnarray*} (a+b)|(a^{n} + b^{n}) \end{eqnarray*}$

jetzt habe ich vermutet, dass die Aussage nur für 1 und (n+2) gelten kann. Mithilfe von Beispielrechnungen konnte ich meine Vermutung auch noch etwas festigen.

Nur wenn ich versuche das zu Zeigen:

$\begin{eqnarray*} a^{(n+2)} + b^{(n+2)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = a^{(n+2)} + a^{2}b^{n} - a^{2}b^{n} + b^{(n+2)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = a^{2} * a^{n} + a^{2}b^{n} - a^{2}b^{n} + b^{n} * b^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = a^{2}(a^{n} + b^{n}) - (a^{2} + b^{2})b^{n} \end{eqnarray*}$

Jetzt hebt sich zwar der Teil vor dem Minus weg aber der Rest nicht und nach meiner Annahme kann auch (a+b) nicht (a^2 + b^2) teilen, da ich ja sage nur jedes (n+2). Aber irgendwie kann ich das nicht glauben.

Was mache ich falsch?

19.11.2011, 20:16

original

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Zitat:

Original von lösungsfinder

Behauptung: $\begin{eqnarray*} (a+b)|(a^{n} + b^{n}) \end{eqnarray*}$

Was mache ich falsch?

die Behauptung ist nur richtig , wenn n UNGERADE ..

ok?

19.11.2011, 20:17

HAL 9000

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Diese Behauptung

Zitat:

Original von lösungsfinder
$\begin{eqnarray*} (a+b)|(a^{n} + b^{n}) \end{eqnarray*}$

gilt ja auch nur für ungerade $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Sie kann also gar nicht für gerade $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ bewiesen werden, sondern für diese $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ allenfalls widerlegt werden.

19.11.2011, 20:54

lösungsfinder

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Aber wie Bewiese ich soetwas dann? oder wie wiederlege ich das?

Ich hätte jetzt gedach ich schreibe die Behauptung so um:

$\begin{eqnarray*} (a+b) | (a^{2n-1} + b^{2n-1}) \end{eqnarray*}$

Damit hätte ich ja jetzt dafür gesorg das n immer ungerade ist. oder?

und dann wieder mit der VI mit (n+1)

19.11.2011, 23:17

lösungsfinder

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Jetzt habe ich es so versucht:

Behauptung: $\begin{eqnarray*} (a+b) | (a^{n} + b^{n}) \end{eqnarray*}$

jetzt gilt die Aussage aber nur für ungerade n also gilt n = 2n-1

damit ist die behauptung jetzt $\begin{eqnarray*} (a+b) | (a^{(2n-1)} + b^{(2n-1)}) \end{eqnarray*}$

Induktionsanfang:
n=1
$\begin{eqnarray*} (a^{(2*1-1)} + b^{(2*1-1)}) = (a^{3} + b^{3}) \end{eqnarray*}$
ist teilbar da n ungerade

Induktionsschritt:
$\begin{eqnarray*} a^{(2(n+1)-1)} + b^{(2(n+1)-1)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = a^{(2n+2-1)} + b^{(2n+2-1)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = a^{(2n+1)} + b^{(2n+1)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = a * a^{2n} + b * b^{2n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = a * a^{2n} + b * a^{2n} - b * a^{2n} + b * b^{2n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = (a + b) * a^{2n} - b * a^{2n} + b * b^{2n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = (a + b) * a^{2n} - b * a^{2n} + aa^{2n} - aa^{2n} + b * b^{2n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = (a + b) * a^{2n} - b * a^{2n} + aa^{2n} - aa^{2n} + b * b^{2n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = (a + b) * a^{2n} - a^{2n} * (a + b) + a^{(2n+1)} + b^{(2n+1)} \end{eqnarray*}$

Damit habe ich doch jetzt gezeigt, dass es nur für ungerade Zahlen gilt.

20.11.2011, 12:40

lösungsfinder

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Ok es ist gestern anscheinend doch schon sehr spät gewesen! Jetzt habe ich gesehen das es ja schwachsin ist was ich da geschrieben habe ;-)

Aber jetzt weiss ich garnicht mehr wie ich das machen soll!

Ich habe schon an einen Direkten Beweis gedacht aber der hat mir auch nicht sehr geholfen.

21.11.2011, 10:06

klarsoweit

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Zitat:

Original von lösungsfinder
$\begin{eqnarray*} (a+b) | (a^{2n-1} + b^{2n-1}) \end{eqnarray*}$

Damit hätte ich ja jetzt dafür gesorg das n immer ungerade ist. oder?

Unfug. Damit hast du dafür gesorgt, daß der Exponent von a und b immer ungerade ist.

Zitat:

Original von lösungsfinder
Induktionsanfang:
n=1
$\begin{eqnarray*} (a^{(2*1-1)} + b^{(2*1-1)}) = (a^{3} + b^{3}) \end{eqnarray*}$
ist teilbar da n ungerade

Was ist denn das für ein Unfug? Für n=1 hast du $\begin{eqnarray*} (a+b) ~ | ~ (a^1 + b^1) \end{eqnarray*}$ , was ja offensichtlich klar ist.

Beim Induktionsschritt machst du denselben Trick, wie bei dem anderen Beweis:

$\begin{eqnarray*} a^{(2(n+1)-1)} + b^{(2(n+1)-1)} = a^{(2n+2-1)} + b^{(2n+2-1)} = a^{(2n+1)} + b^{(2n+1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = a^2 \cdot a^{2n-1} + b^2 \cdot b^{2n} = a^2 \cdot a^{2n-1} + b^2 \cdot a^{2n-1} - b^2 \cdot a^{2n-1} + b^2 \cdot b^{2n-1} = ... \end{eqnarray*}$

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