Cauchy Folge/Konvergenz Verständnisproblem

19.11.2011, 18:47	euklidis	Auf diesen Beitrag antworten »
Cauchy Folge/Konvergenz Verständnisproblem Hallo, ich komme mit der Anwendung der Cauchy-Folgen und Konvergenz Definition nicht so ganz zurecht. Ich fange mal an. 1. Konvergenz. Definition: $\begin{eqnarray} \forall\epsilon > 0 \exists n_0\in \mathbb N\forall n \geq n_0 : \|a_n - a\| < \epsilon \end{eqnarray}$ Ich verstehe darunter: Ich kann zu jedem positiven $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ ein Glied meiner Folge finden, dessen Index $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ ist grösser $\begin{eqnarray} n_0 \end{eqnarray}$ , so dass der Abstand von Glied zu $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ kleiner als das $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ ist. Der Abstand zum Grenzwert wird also beliebig ( $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ ) klein. Wenn ich jetzt eine Folge und deren Grenzwert habe, z.B. meine Folge: $\begin{eqnarray} a_{n} := \frac{1}{n}, \lim_{a \to b} a_{n} = a = 0,n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ Schaue ich mir nochmal meine Definition an, dann möchte ich ja ein $\begin{eqnarray} n_0 \end{eqnarray}$ in abhängigkeit von $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ finden, so dass ich für ein beliebiges $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ bekomme, so dass der Abstand vom n-ten Gleid zum Grenzwert kleiner meinem $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ ist. Richtig? Meine weiteren Schritte wären dann: $\begin{eqnarray} \|a_n - a\| < \epsilon \Rightarrow \|1/n - 0\| < \epsilon \Rightarrow 1/n < 1/n_0 < \epsilon \Rightarrow n_0 > 1/\epsilon \end{eqnarray}$ Damit habe ich ja meine Relation $\begin{eqnarray} n_0 \sim \epsilon \end{eqnarray}$ mit der ich für alle $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ die Definition erfüllen kann. Oder? 2. Cauchy Folge: Definition: $\begin{eqnarray} \forall\epsilon > 0 \exists n_0\in \mathbb N\forall n,m \geq n_0 : \|a_n - a_m\| < \epsilon \end{eqnarray}$ Ich verstehe darunter: Ich kann zu jedem positiven $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ zwei Glieder meiner Folge finden, dessen Index $\begin{eqnarray} n,m \end{eqnarray}$ ist grösser $\begin{eqnarray} n_0 \end{eqnarray}$ ist, so dass der Abstand der zwei Glieder $\begin{eqnarray} \|a_n - a_m\| \end{eqnarray}$ kleiner als das $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ ist. Der Abstand der zwei Glieder wird also beliebig ( $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ ) klein. Ist es hier wichtig zwei aufeinander Folgende Glieder zu betrachten? also eigentlich $\begin{eqnarray} \|a_n - a_{n+1}\| \end{eqnarray}$ ? Denn der Abstand $\begin{eqnarray} \|a_n - a_m\| \geq \|a_n - a_{n+1}\| \end{eqnarray}$ je nach dem wie ich mein m wähle? Wenn ich jetzt wieder die Folge von oben nehme, dann möchte ich ja wieder ein $\begin{eqnarray} n_0 \end{eqnarray}$ in abhängigkeit von $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ finden, so dass ich für ein beliebiges $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} n,m \end{eqnarray}$ bekomme, so dass der Abstand vom n-ten zum m-ten Gleid kleiner meinem $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ ist. Richtig? Meine weiteren Schritte wären dann: $\begin{eqnarray} \mbox{o.E Sei } n<m, \|a_n - a_m\| < \epsilon \Rightarrow \|\frac{1}{n}-\frac{1}{m}\| < \epsilon \Rightarrow \frac{1}{n} - \frac{1}{m} < \frac{1}{n_0} < \epsilon \Rightarrow \frac{1}{\epsilon} < n_o \end{eqnarray}$ Die Relation wäre ja wieder die Gleiche, wie bei meiner Konvergenz. Habe ich das so richtig wiedergegeben?
19.11.2011, 18:51	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
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