Beweis für Hyperbel

19.11.2011, 20:14	Pertus	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis für Hyperbel Meine Frage: Ich muss zeigen, dass die Menge aller Punkte (x,y) mit den Eigenschaften x,y > 0 und xy=1 eine Hyperbel ist, die die Brennpunkte $\begin{eqnarray} F_{1}=(-\sqrt{2},-\sqrt{2}) \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} F_{1}=(\sqrt{2},\sqrt{2}) \end{eqnarray}$ besitzt. Meine Ideen: Zuerst hab ich für x=1 und somit y=1 errechnet, dass $\begin{eqnarray} \overline{PF_{1}}-\overline{PF_{2}}=2\sqrt{2} \end{eqnarray}$ sein muss. Daher: $\begin{eqnarray} \sqrt{(x+\sqrt{2})^2+(y+\sqrt{2})^2}-\sqrt{(x-\sqrt{2})^2+(y-\sqrt{2})^2}=2\sqrt{2} \end{eqnarray}$ Wenn ich das auflöse, sollte ja xy=1 herauskommen, tut es aber bei mir nie (zusätzlich mit Wolfram Alpha überprüft). Ist meine Bedingung falsch??
19.11.2011, 23:12	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Bedingung stimmt. Und es kommt auch $\begin{eqnarray} 2 \sqrt{2} \end{eqnarray}$ heraus. Du kannst in der Formel $\begin{eqnarray} y = \frac{1}{x} \end{eqnarray}$ ersetzen. Die Rechnung ist allerdings ein bißchen kompliziert. Es läuft auf die Terme $\begin{eqnarray} \left( \left( x \pm \sqrt{\frac{1}{2}} \right)^2 + \frac{1}{2} \right)^2 \end{eqnarray}$ hinaus.
19.11.2011, 23:45	Pertus	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber der Term, der rauskommt hat doch nichts mit $\begin{eqnarray} 2\sqrt{2} \end{eqnarray}$ zu tun?
20.11.2011, 13:52	Pertus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich komm immer noch nicht darauf, dass xy=1 ist
20.11.2011, 16:56	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Du sollst auch nicht "drauf kommen" , daß $\begin{eqnarray} xy = 1 \end{eqnarray}$ ist. Vielmehr ist das die Voraussetzung. Du darfst also davon ausgehen! Wie ich dich verstanden habe, willst du nachweisen, daß die Differenz der Abstände zu den Brennpunkten konstant $\begin{eqnarray} 2 \sqrt{2} \end{eqnarray}$ ist. Dafür stimmt jedenfalls dein Ansatz. Für $\begin{eqnarray} y = \frac{1}{x} \end{eqnarray}$ erhält man $\begin{eqnarray} \sqrt{\left( x + \sqrt{2} \right)^2 + \left( \frac{1}{x} + \sqrt{2} \right)^2} - \sqrt{\left( x - \sqrt{2} \right)^2 + \left( \frac{1}{x} - \sqrt{2} \right)^2} = \ldots \text{das ist deine Aufgabe} \ldots \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{1}{x} \cdot \left( \sqrt{\left( \left( x + \sqrt{\frac{1}{2}} \right)^2 + \frac{1}{2} \right)^2} - \sqrt{\left( \left( x - \sqrt{\frac{1}{2}} \right)^2 + \frac{1}{2} \right)^2} \right) = \ldots \text{zu Ende rechnen} \ldots = 2 \sqrt{2} \end{eqnarray}$ Das ist alles eine umständliche Rechnung. Übersichtlicher kommt man wohl mit einer Hauptachsentransformation ans Ziel.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »