Vektorräume, lineare abh, unab.

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TuMausi Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorräume, lineare abh, unab.
Meine Frage:
Hallo liebe Communuity habe da eine aufgabe die ich so bis zur hälfte schaffe danach aber nicht mehr weiterkomme hoffe ihr könnt mir dabei helfen


Sei V={f:-->| f beliebig oft differenzierbar und f´(1)=0. beweisen sie, dass V ein IR-Vektorraum ist, wenn wir die addition in V und die multiplikation mit reellen skalaren punktweise erklären, d.h. für f, g element aus V und element aus

(f+g)(x)=f(x)+g(x) und (f)(x)=f(x)


Meine Ideen:
muss ja diese axiome beweisen habe da paar bewiesen und könnt ihr mir dannauch gleich sagen ob die richtig sind oder nicht

axiom 1, assoziativität , bezüglich +

((f+g)+h)(x)=((f+g)x+h(x))=f(x)+g(x)+h(x)= f(x)+(g+h)(x)


Axiom 2,existenz eines nullvektors und inverses element

(f+0)(x)= f(x)+0 (x)= f(x)

Angenommen es gibt einen witeren Vektor f(x)' element aus V, f+f'= 0 dann gilt:

-f+f+f'=-f+ (f+f')=-f+ 0=-f
und andererseits

-f+f+f'= (-f+f)+f'=0+f'=f'


Axiom 3, kommutativität bezüglich +

(f+g) (x)= (g+f)(x)=f(x)+ g (x)= g(x)+f (x)= (g+f)(x) = (f+g) (x)


jetzt kommen diese axiome bezüglich der multiplikation und mit denne komme ich net so klar

z.b.

Axiom 4 assoziativität, bzg, *

(f)(x)=(f(x))= f (x) ?


dann

axim 5 distributivität und



1*f(x)= f(x) muss ich noch beweisen und dann halt das mit linear un. elemente von v + beweisen
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Hast Du irgendwo benutzt, dass f'(1)=0 ist? Wenn nein, meinst Du es spielt wirklich keine Rolle?

Ich denke aber, dass Du Dir die Sache viel zu schwer gemacht hast. Ihr habt doch vermutlich schon gezeigt, dass die Menge aller reellen Funktionen einen Vektorraum darstellen, oder? Wenn ja, reicht es, die drei Unterraumkriterien zu prüfen.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Helferlein Wenn ja, reicht es, die drei Unterraumkriterien zu prüfen.


[Artikel] Untervektorraum
TuMausi Auf diesen Beitrag antworten »

Also die aufgabe geht so wir sollen eine funktion angeben , die das erfüllt f(1)`=0


also das ist die aufgabe so und wir sollen diese axiome im ersten teil beweisen
TuMausi Auf diesen Beitrag antworten »

achsook ich idiot-...-^^


den 2. teil kannich nicht habt ihr da tipps? was ich machen soll
TuMausi Auf diesen Beitrag antworten »

kannich nicht sagen




1 axiom erfüllt weil 0 element aus V ( F(x)´=0) also ist ja dann nciht leer



2. axiom bzgl abgeschlossenheit +
(f+g) (x)= f(x)+g(x)
(f+g)´(1)= f´(1)+g´(1)= 0
0= 0


dann

3. bzgl *

statt lambda sage ich einfach a

(af)(x)=a*f(x)
(a*f ' )(1)= a f'(1)= 0
0=a*0
0= 0
 
 
TuMausi Auf diesen Beitrag antworten »

und ich solle ja 3 linear unabhängigeelemente aus V angeben könnte ich nicht einfach

sagen

1) x²+1x+3=0
2) x²+2x+1=0
3) 3x²+1+1=0

mein monombasis wäre doch (1,x,x²) --> dim = 3
das würde heißen mein vektorraum wird durch diese 3 "vektoren " dargestellt oder lässt sich darstellen, dann vllt den rang bestimmen

matrix also

1 1 3
1 2 1
3 1 1

bisher richtig?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

1 Ist ok, wobei die Begründung etwas kurz ausfällt
2 Solltest Du nicht mit Äquivalenzen begründen, sondern in einer Gleichung
(f+g)'(1)=...=0
3 Auch etwas unsauber begründet.
(af)'(1)=...=0

Bei den linear unabhängigen Vektoren liegst Du aber ziemlich daneben, denn nicht einer deiner drei Funktionen ist aus dem zu betrachtenden Vektorraum.
Außerdem gibst Du drei Gleichungen an und keine Funktionen.
Gehe bei deiner Überlegung besser von den Monomen aus und bastel sie dir so zurecht, dass sie in der Menge liegen.
TuMausi Auf diesen Beitrag antworten »

ehm keine ahnung echt -.- was ich machen sollmonomen .... naja danke dir trotzdem
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Fangen wir mal einfach an: Du nimmst Dir eine konstante Funktion und schaust, wann sie in der betrachteten Menge liegen kann, also f'(1)=0 erfüllt.
Da f'(x)=0 für alle konstanten Funktionen gilt, kannst Du Dir eine davon aussuchen (Natürlich ausser der Nullfunktion, denn Du willst ja eine Basis bilden).
Dann nimmst Du alle Funktionen ersten Grades, also f(x)=ax. Welche davon erfüllen f'(1)=0? Falls Du keine findest, nimmst Du deinen ersten Basisvektor hinzu und betrachtest f(x)=ax+b mit . Spätestens dann findest Du wieder ein a für das f'(1)=0 gitl und wegen dem höheren Grad ist es linear unabhängig zu der ersten Funktion. usw.
TuMausi Auf diesen Beitrag antworten »

also sagen wir


f(x)= ax-bx

f(x)' =a-b a,b reelle zahl

f(1)'=1-1=0
?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann deinen Gedankengängen nicht wirklich folgen.
Wieso sollte aus a und b eins werden, wenn Du x=1 einsetzt?

Abgesehen davon hast Du nicht wirklich das gemacht, was ich Dir vorgeschlagen habe.
Sei , dann ist und somit
Es gibt demnach keine linearen Funktionen in dem Vektorraum und wir betrachten als nächstes eine quadratische Funktion
TuMausi Auf diesen Beitrag antworten »

a,b sind reellezahlen xD aber so gehts auch ^^ einfach = 0^^


f(x)=ax²+bx

f`= 2ax+b

f(1)'= 2*a*1 +b
=2a+b


alsohm^^
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Na wann wird 2a+b=0?
TuMausi Auf diesen Beitrag antworten »

wenn a 1 und b -2 ist
TuMausi Auf diesen Beitrag antworten »

oder 2. ableitung^^
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

zum Beispiel, ja
Und schon hast Du eine zweite Funktion gefunden, die zur ersten linear unabhängig ist und ebenfalls im Vektorraum liegt. Das ganze nun noch mit einem grad höher (f(x)=ax³+bx²) und Du bist fertig.

Ein etwas weniger analytische Methode wäre es sich zu überlegen, was anschaulich bedeutet. Wenn Du das herausgefunden hast, findest Du schnell drei Funktionen unterschiedlichen Grads, die im Vektorraum liegen müssen.
TuMausi Auf diesen Beitrag antworten »

wie also

Geben Sie 3 linear unabhangige Elemente von V an und beweisen Sie, dass diese linear unabhängig


ist ja die frage


und wir haben ja

f(x) ax+b
f(x)= ax²+bx

dann ein grad höher wäre doch
f(x)= ax³+bx+c
also

f(x)`= 3ax²+b
f(x)´`= 6ax
f(x)'''= 6a

also auch?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Also eigentlich hatten wir schon f(x)=1 und als Lösungen gefunden. Ein Grad höher als zweiten Grades ist dritten Grades, also

EDIT: Was willst Du mit der zweiten Ableitung? Die brauchen wir für diese Aufgabe nicht.
TuMausi Auf diesen Beitrag antworten »

hm

z.b.


3x³-6x²

f '= 9x² 12x
?
TuMausi Auf diesen Beitrag antworten »

damit könnte man doch zeigen das die koeffizienten lu sind
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von TuMausi
3x³-6x²
f '= 9x² -12x


Ehm...und Du meinst wirklich, dass dann f'(1)=0 ?
TuMausi Auf diesen Beitrag antworten »

ne natprlich nicht muss ja noch ein beispiel finden^^aber um dich zu verstehen du meisnt so eine form ja?


komme nicht drauf pls help^^
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Du müsstest die Variablen c und d so wählen, dass die Ableitung an der Stelle eins Null wird. Wie man solche Funktionen ableitet, hast Du an dem Beispiel richtig erkannt.

Mein alternativer Vorschlag von oben zielt auf den Zusammenhang zwischen Ableitung und Steigung. (Nur falls Dir das mehr hilft)
TuMausi Auf diesen Beitrag antworten »

f= 2x²-3x²

F' =6x²-6x

f(1)= 0?



also

1. element f(x)=1 f*= 0

2- element f(x)=x²-2x ==> f'1= 0

3. element f(x)) 2x³-3x² f(1)' = 0


?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Sieht doch gut aus (Mal von Flüchtigkeitsfehlern abgesehen) Freude
TuMausi Auf diesen Beitrag antworten »

wäre damit die aufgabe gelöst=

das die alle gleich 0 ergeben heißt doch das die linear unabh sind oder?


welche fehler meinst du^^?



kennst du dich mit dieser frage aus^^


Gelingt es Ihnen, für jede natürliche Zahl n eine Menge von n linear unabhängigen Elementen
von V anzugeben?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast zum Beispiel oben F' geschrieben, aber nirgends F definiert. Ich denke mal es sollte ein kleines f sein. Dann gehört zu jedem f noch ein (x) dazu, denn f ist nur die Funktion, welche ohne die Variable schwer zu beschreiben ist. (z.B. ist f=id eine Funktion, üblicher aber die Darstellung als Funktionsgleichung f(x)=x)

Die lineare Unabhängigkeit sollst Du noch beweisen.
Das machst Du am besten mit Koeffizientenvergleich oder alternativ durch Einsetzen von drei x-Werten in die Gleichung
TuMausi Auf diesen Beitrag antworten »

wie meinst du das?

wenn ich z.b. für alle x eine zahl einsetze und am ende kommt da was für 0raus? oder wie xD


koeffizienten vergleich?

also


für 1.element koeffizient ist ja 0 gibs ja kein x

für 2. element k= 1, -2

für 3. element k=2, - 3 oder?

was muss ich denn ejtzt machen^^?
TuMausi Auf diesen Beitrag antworten »

ah warte


wenn wir z.b.


a*1 + b(x²-2x)+ c(2x-3x²)=0


a+ bx²-2bx+ 2cx-3cx²=0

setze x=0

a=0 also l.u

ableiten

2bx-2b+2c-6cx=0

setze x=0

b= 0 c= 0
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Hm...mir scheint, Du musst noch einiges an Grundlagen lernen, wenn Du Dein Studium erfolgreich abschliesen willst.

Koeffizientenvergleich bedeutet, dass man zwei ganzrationale Funktionen miteinander vergleicht, indem man ihre einzelnen Koeffizienten, also die Gewichtung der einzelnen Monome, miteinander vergleicht.
Zum Beispiel ist f(x)=1x²+2x-4 nicht dieselbe Funktion wie g(x)=1x²+2x+4 weil zwar die ersten beiden Koeffizienten (1 und 2) übereinstimmen, die dritten aber verschieden sind (-4 und +4). Zwei identische Funktionen müssen dieselben Koeefizienten haben.

Falls Du die Einsetzmethode bevorzugst, dann erhältst Du ja insgesamt drei Gleichungen mit den Unbekannten a, b und c. Sind diese alle Null, dann sind die Funktionen linear unabhängig. Andernfalls sind sie linear abhängig.
TuMausi Auf diesen Beitrag antworten »

schau mal meinen post an und sag mir mal ob ich das richtig gemacht habe



wenn wir z.b.


a*1 + b(x²-2x)+ c(2x³-3x²)=0


a+ bx²-2bx+ 2cx³-3cx²=0

setze x=0

a=0 also l.u

ableiten

2bx-2b+6cx²-6cx=0

setze x=0

b= 0

ableiten
usw.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, so könnte man es machen. Wobei der Trick mit der Ableitung nicht elementar ist, aber aufgrund der Tatsache, dass auf beiden Seiten Funktionen stehen und somit auch ihre Ableitungen übereinstimmen müssen, durchaus legitim.
Du hast Dir nun ein notwendiges Kriterium erarbeitet und musst noch einen Satz dazu verlieren, wieso dieser Kandidat auch wirklich eine Lösung deiner Ausgangsgleichung ist. Aus übereinstimmenden Ableitungen folgt zum Beispiel nicht zwingend die Gleichheit der Funktionen.
TuMausi Auf diesen Beitrag antworten »

hm ^^



was könnte ich denn sagen?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Na löst a=b=c=0 die Gleichung oder nicht?
TuMausi Auf diesen Beitrag antworten »

wenn funktionen linear unabhängig sind , dann sind es auch ihre ableitung <=> ableitung nicht lin unabhängig , funktion nicht l . u
TuMausi Auf diesen Beitrag antworten »

wenn man die einsetzt schon da kommt 0=0 raus
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von TuMausi
wenn funktionen linear unabhängig sind , dann sind es auch ihre ableitung <=> ableitung nicht lin unabhängig , funktion nicht l . u


Sorry, aber das ist Unfug.
f(x)=x² und g(x)=1 sind sicher linear unabhängig, f'(x)=2x und g'(x)=0 aber sicher nicht.

Das zweite stimmt. Die Bedingung ist also auch hinreichend.

Bzgl. der Übertragung auf n weiche ich doch auf die Anschauung aus, weil ich denke, dass so klarer ist, wie Du schneller auf geeignete Funktionen kommst:
Die erste Ableitung ist die Steigung. Wir suchen also Funktionen, die an der Stelle x=1 waagerecht verlaufen, d.h. einen Sattelpunkt oder ein lokales Extrem haben. Fällt Dir hier eine besonders einfache ein, die nicht konstant ist? (Stichwort: Parabel und Scheitelpunkt)
TuMausi Auf diesen Beitrag antworten »

nein ^^

parabel xD x² = parabel?^^
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Ist es zu spät oder was ist mit Dir los?
Wenn man als Student(in) nicht weiss, was die Scheitelpunktsform einer Parabel ist, finde ich das schon mehr als bedenklich.
Es gibt noch andere Parabeln als f(x)=x², zum Beispiel g(x)=x²+5 oder h(x)=(x+1)²-4 Ihr Tiefster oder höchster Punkt nennt sich Scheitelpunkt.
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