Beweis: für differenzierbare Fuktion gilt u(x) |
| 19.11.2011, 22:25 | Mia_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Beweis: für differenzierbare Fuktion gilt u(x) Die Aufgabe lautet: "Beweisen Sie, dass für eine differenzierbare Funktion u(x) gilt." Die Funktion lautet:" " Meine Ideen: Ich habe leider keinen Ansatz. Eine kleine Hilfestellung für den Anfang wäre super lieb! Vielen Dank schonmal. 
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| 19.11.2011, 22:33 | MaPhManni | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Beweis: für differenzierbare Fuktion gilt u(x) Hey Mia, der kleine Tipp von mir für dich lautet : Partielle Integration Lg, Manuel :-) |
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| 19.11.2011, 22:36 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die andere Richtung (ableiten) ist meines Erachtens sogar einen Tick einfacher. Edit: Genau lesen muss gelernt sein. Es geht hier um Stammfunktionen, dafür ist Integrierbarkeit erstmal völlig egal, also ist alles in Ordnung. air |
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| 19.11.2011, 22:45 | Mia_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Beweis: für differenzierbare Fuktion gilt u(x) Huhu Manuel ! Danke! Nur leider hab ich mir das schon gedacht (hätte ich vielleicht dazu schreiben sollen *schäm*), weil es auf der gleichen Seite ist und auserdem gerade unser Thema! :P Ich weiss leider nicht genau, was es bedeutet zu Beweisen, das u(x) gilt. Wie man etwas beweist ist mir klar und das ich dazu brauche auch, nur wie beweis ich denn das u(x) gilt ? |
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| 19.11.2011, 22:47 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du sollst nicht beweisen, "dass u(x) gilt". Die Aussage ergibt keinen Sinn. Du sollst beweisen, dass für eine Funktion u(x) diese Gleichung gilt. 
Meine Bedenken zur Aufgabenstellung siehe dem Edit meines Beitrags. air |
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| 19.11.2011, 22:51 | Mia_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok, das macht jetzt mehr Sinn für mich, danke. Die Aufgabenstellung steht genau so im Buch, aber Schulbüchern lässt sich eh nicht zu 100% vertrauen ... |
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| 19.11.2011, 22:54 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich bin kein Hellseher, aber wenn ich eins weiß ich ganz sicher: Die Aufgabe steht garantiert nicht genau so im Buch. Vielleicht postest du die Aufgabe (und künftige) mal im exakten Original-Wortlaut, dann müsste man nicht raten. Und damit meine ich nichtmal, dass das, was man zeigen soll, im Allgemeinen wohl falsch sein dürfte. Sondern schon die Tatsache, dass die Formulierung mit dem "Die Funktion lautet:" so sicher nicht im Buch steht.
Und wo wir dabei sind: Wenn du dir sowas wie "partielle Integration" schon selbst gedacht hast, dann schreibe das bitte dazu. Das zeigt uns erstmal, dass du dich schon damit beschäftigt hast, vor allem aber erspart es den Helfern mühseliges Raten, was du schon weißt und was nicht.
Edit: Im Übrigen gehe ich davon aus, dass wir von Riemann-Integrierbarkeit bzw. eben Riemann-Integralen sprechen, oder? air |
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| 19.11.2011, 23:02 | Mia_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, du hast recht,das ist mir zu spät aufgefallen. Tut mir leid.
4. Beweisen Sie, dass für eine differenzierbare Funktion u(x) gilt: a) ... das wäre der exakte Wortlaut. |
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| 19.11.2011, 23:06 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja und das ist schonmal ein anderer Wortlaut als deiner.
Ich finde die Aufgabenstellung nach wie vor sehr fragwürdig, denn ich stelle die Existenz des Integrals in Frage. Es wäre möglich, dass die Differenzierbarkeit bereits hinreichend ist, aber trivial ist das wohl sicherlich nicht, müsste also begründet werden, denn Volterra's Function könnte ein mögliches Gegenbeispiel sein. Wird die Funktion als stetig differenzierbar vorausgesetzt, so ist die Existenz des Integrals natürlich sofort gegeben. air |
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| 19.11.2011, 23:09 | Mia_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann lass uns dochmal annehmen, dass die Funktion stetig differenzierbar ist. |
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| 19.11.2011, 23:12 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn wir davon ausgehen, dass das Integral existiert (die Zweifel hieran würde ich bei einer Abgabe aber definitiv hinzufügen oder ggf. den Dozenten/Übungsleiter ansprechen), dann hast du zwei Möglichkeiten:
Da gibt es nicht viel mehr zu erklären. Wenn du partiell integrieren bzw. ableiten kannst, dann kriegst du das auch hin. Mehr muss man ja schließlich nicht machen. air |
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| 19.11.2011, 23:15 | Mia_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich werde meinen Lehrer darauf aufmerksam machen, danke!
Ja, dann weiss ich wie es funktioniert. Vielen Dank an dich! |
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| 19.11.2011, 23:16 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich sehe erst jetzt, dass du 17 bist. Und von Schulbüchern gesprochen hast. Falls du noch in der Schule bist, so hast du im falschen Bereich (Hochschulmathematik) geschrieben -- für die Schule waren meine Ausführungen vielleicht etwas "hochgestochen", in der Schule geht man in der Regel ja davon aus, dass das Universum sowieso nur aus integrierbaren und glatten Funktionen besteht. Den Lehrer drauf aufmerksam machen kannst du ja trotzdem mal. Mal gucken, ob er sich an sein Studium noch erinnern kann. Falls du seine Antwort hier posten könntest, ich fänd's spannend.
air |
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| 19.11.2011, 23:21 | Mia_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Oh, tut mir leid, das mit der Hochschulmathematik war mich auch nicht so bewusst. Ich sollte das nächste Mal nicht so zerstreut daran gehen. Ich fand deine Ausführungen spannend, werd heut abend versuchen zu verstehen was du da gemeint hast, dann kann ich dir auch gern die Antwort von ihm Posten, ansonnsten werde ich ihn warscheinlich auch nicht wirklich verstehen.
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| 19.11.2011, 23:23 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn du magst, erkläre ich dir auch eben kurz ein bisschen "angebrachter", von was ich gesprochen habe(?)
air |
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| 19.11.2011, 23:25 | Mia_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Super gern! |
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| 19.11.2011, 23:47 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also erstmal vorweg: Irgendwie habe ich übersehen, dass es um ein unbestimmtes Integral geht (d. h. es stehen keine Grenzen dran). Das ist eine Schreibweise für die Stammfunktion(en) und die kann auch dann existieren, wenn die Funktion gar nicht integrierbar ist. Also ist mit der Aufgabe doch alles in Ordnung, sorry.
Nichts desto trotz ein kleiner Ausflug: In der Schule betrachtet man in der Regel ja nur "angenehme" Funktionen wie Polynome, die glatt (also unendlich oft differenzierbar) sind und andere tolle Eigenschaften haben. Es gibt aber noch deutlich unangenehmere Funktionen. Es gibt sogar Funktionen, die überall stetig, aber nirgends differenzierbar sind. Anschaulich heißt es, dass sie an jeder einzelnen Stelle einen "Knick" haben. Nun gibt es für Integrale zwei Begriffe. Im Übrigen kennt man in der Schule das sogenannte Riemann-Integral, tatsächlich gibt es aber sogar noch andere Integralbegriffe (vor allem das Lebesgue-Integral, das auch deutlich angenehmere Eigenschaften besitzt). Sie unterscheiden sich darin, wie man so ein Integral konstruiert (wie man also versucht, den Flächeninhalt zu berechnen).
Schauen wir mal den zweiten Punkt an. Das typische Beispiel für eine nicht (Riemann-)integrierbare Funktion, die übrigens auch ein Beispiel für eine nirgends stetige Funktion ist, ist die Dirichlet-Funktion: Die Funktion ist also bei den rationalen Zahlen 1 und sonst 0. Da sie nicht Riemann-integrierbar ist, kann man in der Schule also nicht ausrechnen, welchen Flächeninhalt sie z. B. auf dem Intervall [0,1] einschließt. Unter dem Lebesgue-Integral ist sie aber integrierbar -- übrigens mit Flächeninhalt 0, obwohl sie ja an unendlich vielen Stellen größer als 0 ist.
Du siehst also, es gibt ganz wirre Funktionen, mit denen man nicht mehr einfach alles anstellen kann wie mit Polynomen. Dabei sind es eigentlich mitunter ganz interessante Funktionen. In deiner Aufgabe, wie gesagt, war aber doch alles okay, da es nie um Integrierbarkeit, sondern nur um die Stammfunktion ging. Und dass diese existiert ist deswegen klar, da dort auf der rechten Seite eine (differenzierbare) Funktion steht, für die du ja gerade zeigen sollst, dass sie die Eigenschaft einer Stammfunktion erfüllt. air |
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| 20.11.2011, 00:07 | Mia_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie kann das sein ? |
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| 20.11.2011, 00:34 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ohje. Das im Detail zu erklären wird sehr länglich. Ich hoffe, meine Schreibarbeit lohnt sich.
Zunächst mal musst du wissen, dass unendlich nicht gleich unendlich ist. Der Mathematiker unterscheidet erstmal in "abzählbar unendlich" und "überabzählbar unendlich". Der Begriff gibt vor, worum es geht: Kann ich die Menge abzählen oder nicht? Etwas abstrakter möchte man jedem Element der Menge eine eindeutige, natürliche Zahl zuordnen. Für die natürlichen Zahlen geht das ganz offenbar (1 -> 1, 2 -> 2, ...). Auch für die ganzen Zahlen geht es (0 -> 1, 1 -> 2, -1 -> 3, 2 -> 4, -2 -> 5, ...). Und sogar für die rationalen Zahlen geht es (mit dem sog. ersten Diagonalargument von Cantor, aber das lasse ich hier mal). Die Quintessenz ist: Es gibt gewissermaßen genausoviele rationale wie natürliche Zahlen, auch wenn es im ersten Moment seltsam klingt. Für die reellen Zahlen stellt sich heraus, dass man sie nicht abzählen kann. Egal, wie ich es versuche, es wird nicht funktionieren. Daher sind sie überabzählbar unendlich, also "mehr unendlich" als natürliche (und rationale) Zahlen. Nun denn. Das Lebesgue-Integral basiert auf der Maßtheorie, in welcher man grob gesagt versucht, Funktionen zu finden, die jeder Teilmenge ein Volumen zuordnen. Das natürlichste Maß ist das Lebesgue-Maß: Es ordnet jedem Intervall einfach seine Länge zu, [2,5] bekommt also das Maß 5-2=3 und einzelne Punkte wie {3} bekommen das Maß 0. Eine Eigenschaft dieser Maße soll nun sein, dass einer Vereinigung abzählbar unendlich vieler (verschiedener!) Mengen als Maß einfach die (unendliche) Summe ihrer einzelnen Maße zugeordnet wird. Die Menge der rationalen Zahlen Q ist nun gerade die Vereinigung aller Mengen {p} mit rationalen Zahlen p. Und da wir wissen, dass Q abzählbar unendlich ist, muss das Volumen von Q die Summe der Volumina dieser {q} sein, aber die sind ja alle Null ... also haben die rationalen Zahlen das Volumen 0. Uff! Was hat das nun mit dem Integral zu tun? Nun, du weißt, man kann Integrale über einem bestimmten Integrationsbereich in Teilbereiche aufteilen. Und genau das machen wir nun mit oben genannter Dirichlet-Funktion: Da Q wie eben gesehen aber eine sog. "Nullmenge" ist, wiegt das Integral über Q einfach nichts. Es verschwindet einfach. Bei dem anderen Integral (das über die irrationalen Zahlen R \ Q) nimmt die Funktion aber immer den Wert 0 an, wir integrieren also über 0 und das ist eben auch Null. Insgesamt ist das Integral über die Funktion also Null. In ganz kurzen Worten: Es gibt zwar unendlich viele rationale Zahlen, aber "mehr unendlich viele" irrationale Zahlen, weswegen die rationalen Zahlen im Vergleich einfach nichts wiegen und das Integral daher nicht beeinflussen. Das war nun eine wirklich kurze Erklärung für mehrere große Gebiete der Mathematik, die da eingehen. An der Uni beschäftigt man sich alleine mit der Maßtheorie ein halbes Semester. Die Konstruktion und das Sammeln von Eigenschaften des Lebesgue-Integrals füllt dann fast die andere Hälfte des Semesters. Von den nötigen Kenntnissen der Vorsemester mal ganz zu schweigen.
air |
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| 20.11.2011, 00:52 | Mia_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Super spannend, vielen Dank! 
Ich finde, seid ich ein Schnupperstudium im bereich Mathematik gemacht habe, dass Schulmathematik im Vergleich unendlich langweilig ist, du hast es nochmals bestätigt. 
Ich freu mich gerade sehr, dass du dir die Mühe gemacht hast mir das zu erklären, vielleicht komm ich ja nochmal auf dich zu, wenn mich wieder der Wissenshunger packt oder ich suche mir ein anderes "Opfer" aus.
Je nach dem, wir schreibfreudig und motiviert du bist.
Danke! |
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| 20.11.2011, 01:04 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Gern geschehen.
Und ich bedanke mich ebenso. Das Schreiben hat eine alte Idee in mir wieder reaktiviert, der ich mich wohl mal endlich widmen muss.
Fragen auch zu komplexeren Themen beantworten wir dir hier sicher gerne (wobei wir in der Regel natürlich keine Bücher ersetzen). Wenn du im Forum fragst, sag aber dazu, dass du Schülerin bist, sonst kriegst du kompetente Antworten, die du nicht verstehen kannst.
Je nach Zeit antworte ich natürlich auch gerne.air |
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