Gradient, Ableitung, Produktregel, Kettenregel

19.11.2011, 22:25

The3hadow

Gradient, Ableitung, Produktregel, Kettenregel

Hi!

Ich schlage mich nun seit Stunden mit dieser Aufgabe rum und ich komme einfach nicht auf die Lösung.

Es sei gegeben: $\begin{eqnarray*} f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec c, \vec x \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$
Nun soll gezeigt werden, dass folgendes gilt:
(T - transponiert)

$\begin{eqnarray*} grad_{\vec x}(\vec c * \vec f(\vec x)) = [\vec f'(\vec x)]^T * \vec c \end{eqnarray*}$

Mein Lösungsweg:

$\begin{eqnarray*} grad_{\vec x}(\vec c * \vec f(\vec x)) = [(\vec c * \vec f(\vec x))']^T = [\vec c * \vec f'(x)]^T = [\vec f'(\vec x)]^T * \vec c^T \end{eqnarray*}$

...führt wie man sieht zum falschen Ergebnis. Damit das richtige Ergebnis rauskommt, müsste nach dem zweiten "="-Zeichen stehen: $\begin{eqnarray*} [\vec c^T * \vec f'(\vec x)]^T \end{eqnarray*}$ . Aber der Weg zum $\begin{eqnarray*} \vec c^T \end{eqnarray*}$ erschließt sich mir nicht.

Ich hoffe ihr könnt mir helfen. unglücklich

19.11.2011, 22:49

Dopap

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1.) in Mathe sind Schreibfiguren nicht eindeutig.
was bedeutet "*" ?

Skalarprodukt oder Vektorprodukt?

Ja Ja, klar das muss man sofort erschliessen können.

Aber auch sonst gefällt mir die Schreibfigur nicht:

Was bedeutet der Strich am vektor f ? Gibt's da einen Standard?

Wie lautet der Satz in Worten?

19.11.2011, 22:56

The3hadow

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Vielen Dank für deine Antwort!
"*" ist nicht das Vektorprodukt (würde man ja auch eher mit "x" schreiben)....es handelt sich also um ein Skalarprodukt, oder halt eine Matrixmultiplikation

Strich am f? Na das ist doch die Ableitung...d.h. im mehrdimensionalen Raum ist das die Funktionalmatrix mit den partiellen Ableitungen.

"Ja Ja, klar das muss man sofort erschliessen können." -> Ja, aber wie kommt man dahin? ^^

Und die Gleichung wurde nicht als Satz deklariert. Ist halt ein Zusammenhang.
(Das ist eine Aufgabe aus meiner Uni-Hausaufgabe)

19.11.2011, 23:23

Dopap

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Zitat:

Original von The3hadow

"Ja Ja, klar das muss man sofort erschliessen können." -> Ja, aber wie kommt man dahin? ^^

Das bezog sich auf mich, den Rätselnden selbst, nicht auf dich Augenzwinkern

Behauptung:
Der Gradient eines ( Vektors mal einer vektorwertigen Vektorfunktion ) ist die Transponierte Funktionalmatrix mal dem Vektor.

das erste "=" folgert:

und das ist die Transponierte aus der Funktionalmatrix aus ( Vektor mal vektorwertigen Vektorfunktion)

das muss ich leider offen lassen. Den Rest zur Sicherheit auch unglücklich

wer weiss Genaueres?

19.11.2011, 23:45

The3hadow

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Ich hatte noch eine Alternative, diese endete aber auch abrupt:

$\begin{eqnarray*} grad_{\vec x}(\vec c * \vec f(\vec x)) = \vec c * grad_{\vec x}(\vec f(\vec x)) \end{eqnarray*}$
Und da hört es auch schon auf, denn $\begin{eqnarray*} grad_{\vec x}(\vec f(\vec x)) \end{eqnarray*}$ ist nicht definiert, da $\begin{eqnarray*} \vec f(\vec x) \end{eqnarray*}$ keine reellwertige Funktion ist.

Es ist zum Heulen. traurig

20.11.2011, 00:53

Dopap

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Zitat:

Original von The3hadow

$\begin{eqnarray*} grad_{\vec x}(\vec c * \vec f(\vec x)) = \vec c * grad_{\vec x}(\vec f(\vec x)) \end{eqnarray*}$

Das war eben eine falsche Idee.

Irgendwie bin ich jetzt auch im Unklaren: Vektor mal Vektor = Skalar
Wie davon einen Gradienten bilden?

20.11.2011, 11:21

The3hadow

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Ja das in den Klammern würde ein Skalar ergeben, denn das ist ja die Voraussetzung, damit man überhaupt den Gradienten bilden kann (reellwertige Funktion!).

Bsp.

Als Skalar würde folgendes rauskommen: $\begin{eqnarray*} 2x+8xy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} grad_{\vec x}(2x+8xy) = \begin{pmatrix} 2+8y \\ 8x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

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