Determinantenberechnung

20.11.2011, 07:47

OrangeneMusik

Auf diesen Beitrag antworten »

Determinantenberechnung

Meine Frage:
Es seien $\begin{eqnarray*} b_{1} ,..., b_{n} \end{eqnarray*}$ reele Zahlen, so dass nicht $\begin{eqnarray*} b_{1} =...= b_{n} =0 \end{eqnarray*}$ gilt.
Weiter sei $\begin{eqnarray*} A \in M_{n} (\mathbb R ) \end{eqnarray*}$ mit zugehörigen Zeilenvektoren $\begin{eqnarray*} v_{1} ,..., v_{n} \end{eqnarray*}$

Es gelte $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{m=1}^n b_{m} v_{m} = 0 \end{eqnarray*}$

Jetzt soll ich beweisen, dass $\begin{eqnarray*} der(A) = 0 \end{eqnarray*}$ ist...

Meine Ideen:

Also aus $\begin{eqnarray*} A \in M_{n} (\mathbb R \end{eqnarray*}$ ) mit zugehörigen Zeilenvektoren $\begin{eqnarray*} v_{1} ,..., v_{n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow A = \begin{pmatrix} v_{1} \\ ... \\ v_{n} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow A = \begin{pmatrix} v_{1} \\ ... \\ v_{n} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Edit: "Guckt es euch bitte an!!" ist als Titel mehr als ungeeignet, bitte verwende in Zukunft einen aussagekräftigen Titel, der dein Problem grob umschreibt. Geändert! Außerdem LaTeX korrigiert. LG Iorek

20.11.2011, 08:49

ollie3

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Guckt es euch bitte an!!
hallo orangenemusik,
du bist sicher neu hier. Denk dran, dass man wenn man das latex-programm
benutzt, voher latex und hinterher /latex (beides in eckigen klammern) schreiben
muss, sonst erkennt der formeleditor das nicht.
gruss ollie3

21.11.2011, 11:05

sascha89

Auf diesen Beitrag antworten »

Hat irgendjemand eine Idee wie man die Aufgabe lösen kann? Komm nicht weiter... traurig

traurig

21.11.2011, 11:16

Calahan

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \det \end{eqnarray*}$ ist als Multilinearform linear in jeder Spalte und wegen $\begin{eqnarray*} \det(A)=\det(A^t) \end{eqnarray*}$ auch linear in jeder Zeile.
Zusammen mit der Voraussetzung folgt damit auch schon die Behauptung.

21.11.2011, 11:34

Atze7

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm das hilft mir jetzt auch nicht so wirklich weiter. Könntest du deine Überlegungen vielleicht noch was ausführen?

21.11.2011, 12:37

Calahan

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Voraussetzung besagt doch nichts anderes als, dass die Spaltenvektoren in $\begin{eqnarray*} A^t \end{eqnarray*}$ linear abhängig sind.

Dann ist aber $\begin{eqnarray*} \det(A^t)=0. \end{eqnarray*}$

Und wegen $\begin{eqnarray*} \det(A^t)=\det(A) \end{eqnarray*}$ folgt dann die Behauptung.

Anzeige

21.11.2011, 13:58

LoBi

Auf diesen Beitrag antworten »

Lineare Abhängikeit wurde in der Vorlesung noch nicht definiert.

Forme die gleichung so um das auf einer Seite nur noch ein Vektor steht, und denk dann mal an Elementarmatrizen.

Der Rest ist dann entwickeln nach einer bestimmten Zeile.

Gruß

21.11.2011, 17:05

OrangeneMusik

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> das verstehe ich noch nicht ganz.<br /> wie entwickele ich das denn nach einer bestimmten zeile?<br /> wenn ich die Gleichung umforme - stimmt dann: \sum\limits_{m=1}^n b_{m} = v_{m}<br /> und \sum\limits_{m=1}^n v_{m} = b_{m} ?<br /> Aber das macht doch keinen Sinn...<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

21.11.2011, 17:22

OrangeneMusik

Auf diesen Beitrag antworten »

das verstehe ich noch nicht ganz

wie entwickele das denn nach einer bestimmten zeile?

wenn ich die Gleichung umforme - stimmt dann
$\begin{eqnarray*} <br /> \sum\limits_{m=1}^n b_{m} = \frac{0}{v_{m}} = 0 <br /> \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} <br /> \sum\limits_{m=1}^n v_{m} =\frac{0}{b_{m}} = 0<br /> \end{eqnarray*}$
aber das macht doch gar keinen Sinn... - oder was bringt mir das?

21.11.2011, 17:55

LoBi

Auf diesen Beitrag antworten »

Bringt dir gar nichts. Deine Umformungen sind völlig falsch.

Die Gleichung sah so aus:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{m=1}^n b_{m} v_{m} = b_{1} v_{1}+\cdots+b_{n} v_{n}=0 \end{eqnarray*}$

Also für $\begin{eqnarray*} k \in \{1,...,n\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (\sum\limits_{m=1, k\not=m}^n b_{m} v_{m}) + b_{k} v_{k}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cdots \end{eqnarray*}$
Ziel ist es eine Nullzeile zu erzeugen.

Gruß

21.11.2011, 18:05

OrangeneMusik

Auf diesen Beitrag antworten »

wie mache ich denn dann weiter?
ich habe im moment eine sperre im kopf.

ziel ist eine Nullzeile, weil eine det von A mit Nullzeile = 0 ist, oder?

21.11.2011, 18:27

LoBi

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau eine Matrix $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ mit Nullzeile hat immer $\begin{eqnarray*} det M = 0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von LoBi
...
Forme die gleichung so um das auf einer Seite nur noch ein Vektor steht, und denk dann mal an Elementarmatrizen.
...

Wie erzeugt man eine Nullzeile? Durch Zeilenumformungen bzw. durch Multiplikation mit Elementarmatrizen. Also multipliziere A mit geeigneten Elementarmatrizen.
Wie sehen die aus ?

Gruß

21.11.2011, 18:54

OrangeneMusik

Auf diesen Beitrag antworten »

wie sähe das denn konkret für $\begin{eqnarray*} ( \sum\limits_{m=1, k\neq m}^n b_{m} v_{m} )+b_{k} v_{k} = 0 \end{eqnarray*}$ aus?

Also soll ich A jetzt mit entweder
$\begin{eqnarray*} sigma^{k,l} \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} D^{j} (\lambda ) \end{eqnarray*}$ oder
$\begin{eqnarray*} Z^{i,j} (\lambda ) \end{eqnarray*}$ multiplizieren.

Am sinnvollsten wäre dabei doch $\begin{eqnarray*} Z^{i,j} (\lambda ) \end{eqnarray*}$ , da ich dann eine Zeile einfach zur Nullzeile machen kann, stimmt das?

Wäre dann die Rechnung: $\begin{eqnarray*} (( \sum\limits_{m=1, k\neq m}^n b_{m} v_{m} )+b_{k} v_{k}) \times Z^{k,j} (-k) = 0 \end{eqnarray*}$

Dann ziehe ich doch von den k-ten Zeile das k-fach ab. Aber das stimmt doch auch nur, wenn dann j=1 ist -
wo ist mein Fehler?

21.11.2011, 19:41

LoBi

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast die Gleichung immernoch nicht umgestellt.

$\begin{eqnarray*} ( \sum\limits_{m=1, k\neq m}^n b_{m} v_{m} )+b_{k} v_{k} \end{eqnarray*}$
Ist keine Matrix. Die Matrix ist $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} v_1 \\ ... \\ v_k \\ ...\\v_n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Jetzt überleg dir wie du $\begin{eqnarray*} v_k \end{eqnarray*}$ mit Elementarmatrizen $\begin{eqnarray*} Z^{i,j} (\lambda ) \end{eqnarray*}$ wegbekommst, wenn $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{m=1}^n b_{m} v_{m} = 0 \end{eqnarray*}$ gilt.

21.11.2011, 19:50

OrangeneMusik

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} A\times D^{k} (\sum\limits_{m=1}^n b_{m}v_{m} ) \end{eqnarray*}$ ?
Dann ist doch $\begin{eqnarray*} A\times 0=0 \end{eqnarray*}$ und somit Nullzeile.

21.11.2011, 20:32

LoBi

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab doch grad geschrieben das $\begin{eqnarray*} (\sum\limits_{m=1}^n b_{m}v_{m} ) \end{eqnarray*}$ keine Matrix ist?
Mach dir doch das ganze Mal an nem Beispiel klar:

Nehmen wir z.B. $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & -2 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Wie erzeugst du hier die Nullzeile?

01.01.2012, 09:54

OrangeneMusik

Auf diesen Beitrag antworten »

also wir haben in der Übung gelöst:
Vorraussetzung:
$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in M_{2} (\mathbb R ), det(A)\neq 0 \end{eqnarray*}$

Behauptung:
$\begin{eqnarray*} A^{-1} =\frac{1}{detA} \times \begin{pmatrix} d & -b \\ -d & a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Beweis:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} d & -b \\ -d & a \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} ad-bc & bd-bd \\ ac-ac & ad-bc \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ad-bc & 0 \\ 0 & ad-bc \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = B \Rightarrow B\times \frac{1}{detA} = I_{2} \end{eqnarray*}$

.
Ich hoffe, ich kann mit dieser Antowrt-Lösung noch denjenigen helfen, die irgendwann auch diese Aufgabe haben...
Viel Spaß bei Mathe im neuem Jahr (:

01.01.2012, 10:20

OrangeneMusik

Auf diesen Beitrag antworten »

Behauptung:
$\begin{eqnarray*} det(A)=0, E. r<-{1,...,n}, b_{r} \neq 0, nicht. b_{n}=...= b_{n} =0 \end{eqnarray*}$

Beweis:
Sie r gegeben
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{m=1}^n b_{m} \times v_{r} = 0<br /> <=> (\sum\limits_{m=1, m\neq r}^n b_{m} \times v_{m}) + b_{m} \times v_{r} = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <=> (\sum\limits_{m=1, m\neq r}^n b_{m} \times v_{m} | \frac{1}{b_{r} } = v_{r})<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} det(A)=det\begin{pmatrix} v_1 \\ ... \\ v_n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =det(-(\sum\limits_{n=1, m\neq r }^v b_{m} v_{m}) \times \frac{1}{b_{r}}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =(da.multilinear) -\sum\limits_{m=1, m\neq r}^n \frac{b_{m} }{b_{m}} \times det\begin{pmatrix} v_{1} \\ ... \\ v_{m} \\ ... \\ v_{n} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -\sum\limits_{k=1} \frac{b_{m}}{b_{r}} \times 0= 0 \end{eqnarray*}$

Das was ich eben gepostet habe gehört zu einem anderen Beitrag: Sorry... ((:

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »