Grenzwertbeweis mit Epsilon - Delta Kriterium

20.11.2011, 11:16	Ploki	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwertbeweis mit Epsilon - Delta Kriterium Meine Frage: Man beweise die folgende Aussage mit dem Epsilon - Delta Kriterium: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0}x\cos(1/x)=0 \end{eqnarray}$ Meine Ideen:* Sei $\begin{eqnarray} \delta >0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \epsilon >0 \end{eqnarray}$ Nun setz ich in die Definitoin ein: $\begin{eqnarray} 0 < \|x-0\| < \delta \Rightarrow \|x\cos(1/x)-0\| < \epsilon \end{eqnarray}$ d.h $\begin{eqnarray} \|x\cos(1/x)-0\| < \epsilon \end{eqnarray}$ Nun steck ich fest bei der Umformung Vielleicht kann mir hier jemand weiter helfen? Gruß, Ploki
20.11.2011, 12:43	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Das, was du machst, ist ein wenig schief, hat zwar mit der richtigen Lösung zu tun, aber dennoch ist bereits der Anfang falsch. Sei Delta > 0 und Epsilon > 0 ist zwar richtig, am Beginn steht aber bei diesen Aufgaben nur Sei $\begin{eqnarray} \epsilon > 0 \end{eqnarray}$ . Deine Aufgabe ist nun, das zugehörige $\begin{eqnarray} \delta > 0 \end{eqnarray}$ zu finden, ist dir das klar? Wenn ja, dann ist es gut, aber das kam nicht so ganz rüber. So, jetzt zur Abschätzung: $\begin{eqnarray} \left\|x \cdot \cos\left(\frac{1}{x}\right)\right\| = ? \end{eqnarray}$ Waa gilt denn für Beträge von Produkten? \|ab\| = \|a\|\|b\|. Nutz das hier aus, dann steht links etwas, das du kennst und rechts? Wodurch ist der Cosinus beschränkt?
20.11.2011, 18:20	Ploki	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, meine Aufgabe ist es doch ein Delta zu finden, sodass $\begin{eqnarray} \|x\cos(1/x)\| <\epsilon \end{eqnarray}$ erfüllt ist. Ok, also $\begin{eqnarray} \|x\cos(\frac{1}{x})\| <\epsilon \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|x\|\|\cos(\frac{1}{x})\| <\epsilon \end{eqnarray}$ Ich hab also links Betrag von x und rechts den Betrag von einem Wert von [-1,1]. Wenn ich nun die Betragstriche links wegfallen lass, hab ich \|x\| einem Wert zwischen 0 und 1. D.h. mein cosinus macht mein \|x\| kleiner oder lässt ihn unverändert. Weiß aber noch immer nicht wie ich weiter abschätzen kann??
20.11.2011, 21:45	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Schon mal gut. Wir haben also $\begin{eqnarray} \left\|x \cdot \cos\left(\frac{1}{x}\right)\right\| = \|x\| \cdot \left\|\cos\left(\frac{1}{x}\right)\right\| \leq \|x\| \end{eqnarray}$ . Und du sollst ein Delta bestimmen, so dass folgendes gilt $\begin{eqnarray} \left\|x \cdot \cos\left(\frac{1}{x}\right)\right\| < \varepsilon \end{eqnarray}$ für alle x mit $\begin{eqnarray} \|x-0\| =\|x\| < \delta \end{eqnarray}$ . Und den Term \|x\| findest du ja oben jetzt, wie ist also Delta zu wählen?
21.11.2011, 16:48	Ploki	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, ich habs. cos(1/x) macht meinen term ja kleiner. Also lass ich ihn wegfallen. $\begin{eqnarray} \|x\| < \delta < \epsilon \end{eqnarray}$ Danke für die Tips.

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