Beweis: Es gibt nur 1 Körper mit 4 Elementen |
| 20.11.2011, 11:29 | Napster | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Beweis: Es gibt nur 1 Körper mit 4 Elementen Zeige, dass es bis auf Isomorphie, genau einen Körper mit 4 Elementen gibt (Hinweis: Zeige, dass es nur zwei Gruppen mit vier Elementen und eine Gruppe mit 3 Elementen gibt und nutze dies) Ich steh vor der Aufgabe und weiß nicht wie ich anfangen soll. Ich hab mir die Definitionen einer Gruppe angeschaut, ich weiß wie man eine Gruppe bzw Körper nachweist. Aber wie zeigt man denn, dass es nur 2 Gruppen mit 4 Elementen gibt? Bringen mir Verknüpfungstabellen dabei was? Ein kleiner Denkanstoß wäre nett! |
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| 20.11.2011, 11:46 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Beweis: Es gibt nur 1 Körper mit 4 Elementen Darfst du benutzen, dass die Ordnung jedes Elementes Teiler der Gruppenordnung ist (Satz von Lagrange)? Dann kommen nur zwei Ordnungen für alle Elemente in Frage. |
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| 20.11.2011, 11:47 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ein Körper besteht doch immer aus 2 Gruppen. Im endlichen Fall hat die multiplikative Gruppe genau ein Element weniger als die additive Gruppe. Gehe also so vor, d.h. zeige nacheinander: - Es gibt genau 2 Gruppen G,H mit 4 Elementen - Es gibt genau 1 Gruppe N mit 3 Elementen. - Also gibt es höchstens 2 Körper mit 4 Elementen, da man ja nur 2 Kombinationen aus additiver und multiplikativer Gruppe erhalten kann. Nun müssen sich die Gruppen aber auch noch miteinander vertragen (Distributivgesetz). Zeige, dass dies bei einer der beiden Kombinationen G,N bzw. H,N nicht der Fall ist. Und ja, dass es nur so wenige Gruppen mit dieser Elementanzahl gibt, zeigt man in der Tat ganz elementar mit Verknüpfungstabellen. Außer man kennt schon den Satz von Lagrange. Dann gehts damit schneller. |
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| 20.11.2011, 12:06 | Napster | Auf diesen Beitrag antworten » |
Den Satz von Lagrange hatten wir noch nicht. Jetzt hänge ich bei den Verknüpfungstabellen: Muss ich allgemein mit e,a,b,c eine erstelllen? Welche Verknüpfung benutze ich denn? "+", "Mal" oder was allgemeines? Und woran sehe ich dann dass das die einzige beiden Gruppen sind? |
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| 20.11.2011, 12:11 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das ist ziemlich egal, wie deine Verknüpfung ausschaut oder wie du sie nennst. Häufig zeigt man, dass die beiden Gruppen und die einzigen beiden bis auf Isomorphie unterschiedlichen Gruppen der Ordnung 4 sind, die Verknüpfung wäre dann +. Du kannst ja mal die Verknüpfungstafeln für beide Gruppen aufstelllen. |
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