Beweise 1/2(2n+2ni-i^2+i+2)...

20.11.2011, 11:37

larss

Beweise 1/2(2n+2ni-i^2+i+2)...

Hallo

ich will beweisen dass
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^n (n-i+1) = \frac{1}{2} \cdot (2n+2ni-i^{2} +i+2) \end{eqnarray*}$

n ist also beliebig groß und $\begin{eqnarray*} 0\leq i\leq n \end{eqnarray*}$
muss ich dann induktion nach i+1 oder n+1 machen? oder ganz anders?
also, ich habe mal angefangen mit i=0
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^n (n+1) = \frac{1}{2} \cdot (2n+2) = n+1 \end{eqnarray*}$
geht auf.
wie mache ich weiter?

Greetz
Lars

20.11.2011, 11:47

HAL 9000

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Zitat:

Original von larss
ich will beweisen dass
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^n (n-i+1) = \frac{1}{2} \cdot (2n+2ni-i^{2} +i+2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ ist der Summationsindex, und hat als solcher auf der rechten Seite nicht das geringste zu suchen. Der Summenwert darf ausschließlich von n abhängen, alles andere macht keinen Sinn. unglücklich

P.S.: Der tatsächliche Summenwert ist

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^n (n-i+1) = \frac{1}{2}(n+1)(n+2) \end{eqnarray*}$ .

20.11.2011, 11:58

larss

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danke für deine Antwort!
kein Wunder dass ich so nicht weiterkomme.
also, die rechte Seite ist gegeben, dann habe ich mir die linke falsch überlegt.
Vielleicht muss ich noch nen Binomialkoeffizient einbauen?
Also die Aufgabe ist zu beweisen, dass 1/2(2n+2ni-i^2+i+2)
der Anzahl der möglichen Teile entspricht, wenn man eine Sequenz n mal teilen kann und dabei i Teilungen auslassen kann.
Also z.B.
Sequenz: ABCD
dann sage ich erlaubte Teilungen n=3
erlaubte Auslasser i=1
also könnte ich nachher folgende Teilungen bekommen:
A - B - C - D
AB - C - D
A - BC - D
A - B - CD
es gibt also wie in der Formel 7 verschiedene Teile: A, B, C, D, AB, BC, CD

Ich weiß das ist vielleicht etwas komplex, aber wäre echt toll wenn ihr mir da weiterhelfen könnt!

20.11.2011, 12:14

HAL 9000

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Zitat:

Original von larss
der Anzahl der möglichen Teile entspricht, wenn man eine Sequenz n mal teilen kann und dabei i Teilungen auslassen kann.

Ich weiß nicht, wie es anderen geht, aber ich verstehe nicht, was du damit genau meinst. Leider trägt auch das Beispiel nur wenig zur Erhellung bei. unglücklich

Bleiben wir z.B. mal bei n=3,i=1, nun aber angewandt auf die Sequenz ABCDEFG, da kommt doch eine ganz andere Anzahl raus, die also noch von der Größe der Sequenz abhängt? verwirrt

20.11.2011, 12:16

Airblader

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Fragen wir mal so:

Woher kommt diese Aufgabe denn?

air

20.11.2011, 12:40

larss

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kommt aus der Biologie. Aminosäuresequenzen. Die dürfen ja also nur an bestimmten Stellen geteilt werden. D.h. wenn sich die Sequenz verlängert, nimmt die Anzahl möglicher Teile nicht zwangsläufig zu.

also, anderes Beispiel nochmal. n=3, i=1
und man kann immer nach B trennen:
ABAABCBA
AB-AAB-CB-A (wenn alle Stellen getroffen werden)
ABAAB-CB-A (wenn die erste verpasst wird)
AB-AABCB-A (2. verpasst)
AB-AAB-CBA (3. verpasst)

man hat also insgesamt folgende verschiedene Teile:
AB, A, AAB, ABAAB, AABCB, CB, CBA
wieder 7.
k, das andre Beispiel vorhin war schlecht gewählt.

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