Basis bei Polynomen finden

20.11.2011, 12:25

marie_studie

Basis bei Polynomen finden

Meine Frage:
Ich soll zeigen, dass die Polynome $\begin{eqnarray*} 1, (x-a), (x-a)^{2} , ..., (x-a)^{n} \end{eqnarray*}$ eine Basis des Vektorraums $\begin{eqnarray*} R[x]_{n} \end{eqnarray*}$ der Polynome vom Grad ?n bilden und dann die Koordinaten eines beliebigen Polynoms $\begin{eqnarray*} p(x)=a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x_{n} \end{eqnarray*}$ bezüglich dieser Basis bilden.
Als Hinweis soll ich die Ableitungen an der Stelle a betrachten.
Und als zusätzliche Aufgabenstellung noch: Muss jede Basis von $\begin{eqnarray*} K[x]_{n} \end{eqnarray*}$ (K ist hierbei ein beliebiger Körper und $\begin{eqnarray*} K[x]_{n} \end{eqnarray*}$ wieder der Vektorraum der Polynome vom Grad kleiner gleich n) jeweils ein Polynom vom Grad 0,1,...,n enthalten?

Meine Ideen:
Erstmal die Frage nach diesem Symbol $\begin{eqnarray*} R[x]_{n} \end{eqnarray*}$ . Hat die eckige Klammer etwas Bestimmtes zu bedeuten oder ist das einfach die Schreibweise bei Vektorräumen??
Und dann noch meine Ideen zur Lösung dieser Aufgabe: Um zu zeigen, dass diese Polynome eine Basis sind, muss ich ja einerseits zeigen, dass sie einErzeugendensystem bilden und andererseits linear unabhängig sind, ich habe aber leider keine Ahnung wie ich das hier auf dieses Beispiel anwenden kann.. =(

Wäre sehr dankebar, wenn mir jemand helfen könnte!

20.11.2011, 14:03

tigerbine

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RE: Basis bei Polynomen finden
Zur Symbolik. $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ wäre der n-dimensionale reelle Vektorraum. Mit $\begin{eqnarray*} \mathbb R[x] \end{eqnarray*}$ ist allgemein der Vektorraum der Polynome mit reellen Koeffizienten und der Index oder wie auch immer man das "n" einbaut beschränkt den maximalen Grad der Polynome.

Zitat:

Ich soll zeigen, dass die Polynome $\begin{eqnarray*} 1, (x-a), (x-a)^{2} , ..., (x-a)^{n} \end{eqnarray*}$ eine Basis des Vektorraums $\begin{eqnarray*} \mathbb R[x]_{n} \end{eqnarray*}$ der Polynome vom Grad n?

Sei n=2. Dann hätten wir

$\begin{eqnarray*} 1, x-a, (x-a)^2=x^2-2ax+a^2 \end{eqnarray*}$

Deine Theoretischen Ideen sind richtig. Wenn wir jedoch die lu dieser 3 Vektoren aus dem $\begin{eqnarray*} \mathbb R[x]_{2} \end{eqnarray*}$ gezeigt haben und wir wissen, dass die Dimension des Vektorraums 3 beträgt, so sind wir fertig.

Um die lu zu zeigen, sollte man sich hier mal fragen, welchen Faktor man z.B. (x-a)² in einer Linearkombination des Nullvektors geben kann bzw. muss.

20.11.2011, 18:18

Marie_studie

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Okay, also erstmal danke für deine Hilfe!! Freude

Wenn ich dich richtig verstanden habe, dann soll ich jetzt die Lin.Unabh. der drei Vektoren dieser drei Vektoren zeigen 1, (x-a), (x-a)^2 zeigen und dann bin ich fertig?? Warum ist das denn schon ausrechend?? Muss ich das nicht allgemein für bis zu (x-a)^n zeigen?? verwirrt

20.11.2011, 18:19

tigerbine

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Natürlich reicht das Beispiel nicht aus. Jedoch kann man die Idee, die man aus dem konkreten Fall entwickelt auf den allgemeinen übertragen. Augenzwinkern

20.11.2011, 19:16

Marie_studie

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Okay dankeschön =)

Also wenn ich von diesen 3 Polynomen jetzt die Unabhängigkeit zeigen soll, dann würde ich sie als LK aufschreiben, nach Koeffizienten umsortieren und einen Koeffizientenvergleich machen, bei dem man dann zeigen kann, dass alle Koeffizienten Null sein müssen, wenn die LK 0 ergeben soll --> d.h. die 3 Polynome sind linear unabhängig. Wie ich das aber auf Polynome hoch n anwenden soll, weiß ich leider nicht, da ich die ja dann nicht so einfach ausmultiplizieren kann =(

Um auf deinen Vorschlag zurückzukommen, sich zu überlegen welchen Faktor man zb. $\begin{eqnarray*} (x-a)^{2} \end{eqnarray*}$ in eine LK geben muss: Wenn die Polynome linear unabhängig sein müssen, dann müssen doch alle Koeffizienten 0 sein, um bei der LK auch 0 rausbekommen zu können oder?

20.11.2011, 23:45

tigerbine

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Also, wir setzen mal an

$\begin{eqnarray*} c_2\cdot (x-a)^2+c_1\cdot (x-a)^2 +c_0\cdot 1=0 \end{eqnarray*}$

Ziel ist zu begründen, warum gelten muss: $\begin{eqnarray*} c_2=c_1=c_0=0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

nach Koeffizienten umsortieren

Ja, das geht in die richtige Richtung, nachher muss man das aber gar nicht mehr explizit machen.

$\begin{eqnarray*} c_2\cdot (x^2-2a+a^2)+c_1\cdot (x-a)^2 +c_0\cdot 1=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c_2\cdot x^2 + (...)x + (...)1=0 \end{eqnarray*}$

Was folgt hieraus? Und wie kann man diese Argumentation nun auf $\begin{eqnarray*} c_1 \end{eqnarray*}$ und am Ende auf $\begin{eqnarray*} c_0 \end{eqnarray*}$ übertragen`?

27.11.2011, 09:36

Marie_studie

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Achja - dankeschön für deine Hilfe!!

27.11.2011, 11:42

tigerbine

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Gerne.

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