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20.11.2011, 12:40

Schnösel

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Hallo,

ich habe eine exponential verteilte Zufallsverteilung gegeben mit Dichte $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{a}\exp{\left( -\frac{x}{a}\right)} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x> 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\leq 0 \end{eqnarray*}$ gegeben.

Jetzt soll ich für $\begin{eqnarray*} x,t\geq 0 \end{eqnarray*}$ folgendes zeigen:

$\begin{eqnarray*} P(X\geq x+t|X\geq t) = P(X\geq x) \end{eqnarray*}$

Den rechten Teil der Gleichung kann ich über das Integral ausdrücken:

$\begin{eqnarray*} P(X\geq x)= 1- P(X<x)= 1- \int_0^x \! f(x) \, dx = \exp{\left( \frac{-a}{x}\right)} \end{eqnarray*}$

Leider weiß ich jetzt nicht, qofür der Ausdruck $\begin{eqnarray*} P(X\geq x+t|X\geq t) \end{eqnarray*}$ steht, bzw. was ich mit ihm machen soll?

Vielen Dank schonmal.

20.11.2011, 12:58

Black

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Links hast du eine bedingte Wahrscheinlichkeit stehen, das kann man auch anders schreiben - nämlich wie?

20.11.2011, 14:16

Schnösel

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Für die bedingte Wahrscheinlichkeit hatten wir mal folgende Formeln notiert:
$\begin{eqnarray*} P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(B|A)=\frac{P(A|B)\cdot P(B)}{P(A)} \end{eqnarray*}$

Ich sehe aber nicht, wie mir das weiterhelfen kann. Da ich entweder einen Durchschnitt habe, mit dem ich nichts anfangen kann oder oder ich wieder eine bedingte Wahrscheinlichkeit habe.

verwirrt

20.11.2011, 14:23

Gast11022013

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Die untere Gleichung ist die sog. Bayes-Formel.

Wenn Du zum Beispiel $\begin{eqnarray*} P(A|B) \end{eqnarray*}$ kennst und jetzt sollst Du $\begin{eqnarray*} P(B|A) \end{eqnarray*}$ berechnen, nimmst Du diese Formel. Dabei steht im Nenner die totale Wahrscheinlichkeit.

20.11.2011, 15:08

Math1986

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Zitat:

Original von Schnösel
Für die bedingte Wahrscheinlichkeit hatten wir mal folgende Formeln notiert:
$\begin{eqnarray*} P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} \end{eqnarray*}$

Ja, und diese Formel kannst du anwenden auf

Zitat:

Original von Schnösel
Leider weiß ich jetzt nicht, qofür der Ausdruck $\begin{eqnarray*} P(X\geq x+t|X\geq t) \end{eqnarray*}$ steht, bzw. was ich mit ihm machen soll?

Was kommt dabei heraus?

Die Verteilungsfunktion hilft dir hier weiter.

20.11.2011, 15:12

Math1986

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Zitat:

Original von Dennis2010
Die untere Gleichung ist die sog. Bayes-Formel.

Wenn Du zum Beispiel $\begin{eqnarray*} P(A|B) \end{eqnarray*}$ kennst und jetzt sollst Du $\begin{eqnarray*} P(B|A) \end{eqnarray*}$ berechnen, nimmst Du diese Formel. Dabei steht im Nenner die totale Wahrscheinlichkeit.

Das stimmt zwar, hilft ihm aber bei dieser Aufgabe absolut nicht weiter Augenzwinkern

20.11.2011, 15:23

Gast11022013

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Ich dachte, das würde vielleicht allgemein zum Verständnis beitragen, weil er geschrieben hatte, daß er zum Beispiel mit dem Durchschnitt nichts anfangen kann oder mit der bedingten Wahrscheinlichkeit.

Zum Beispiel ist es ja gut zu wissen, was beim Satz von Bayes bekannt sein muss.

20.11.2011, 15:53

Schnösel

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Ich habe mir mal ein paar Schaubilder von dem Durchschnitt angeschaut. Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, sorgt der Durchschnitt dafür, dass ich nur die Elemente zwischen $\begin{eqnarray*} x+t\geq X \geq t \end{eqnarray*}$ aus dem Ereignisraum erhalte?

Also sollte erstmal folgendes gelten:

$\begin{eqnarray*} P(X\geq x+t| X \geq t)= \frac{P((X\geq x+t) \cap (X\geq t))}{P(X\geq t)}=\frac{P(x+t\geq X \geq t)}{P(X\geq t)} \end{eqnarray*}$

An der Stelle könnte ich dann die Wahrscheinlichkeiten durch Einsetzen konkret ausrechnen.

Ich möchte vorher aber erst wissen, ob ich keinen Bockmist gerschrieben habe^^

20.11.2011, 15:57

Math1986

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Nein, das stimmt so nicht.
Dir ist aber schon klar, was der Durchschnitt meint?
Welche Schaubilder hast du dir denn angeschaut?

Es muss ja gerade gelten:
$\begin{eqnarray*} X\geq x+t \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X \geq t \end{eqnarray*}$
Durchschnitt heißt eben, dass X in beiden Mengen liegt, sprich, dass beide Bedingungen erfüllt sind.

Wenn du beim Mengenschnitt noch Probleme hast dann solltest du dich erstmal damit befassen

20.11.2011, 16:28

Schnösel

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Ich habe nochmal nachgedacht.

Ich habe zwei Mengen und bilde den Durchschnitt, indem ich die Elemente, die in beiden vorkommen in eine neue packe...

Ich habe mal versucht, mir den Zusammenhang hier graphisch darzustellen.

Der blau makierte Bereich sollte hier bei der Aufgabe der Durchschnitt $\begin{eqnarray*} P(X\geq x+t\cap X\geq t) \end{eqnarray*}$ sein???

[attach]22007[/attach]

20.11.2011, 16:43

Math1986

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Zitat:

Original von Schnösel
Der blau makierte Bereich sollte hier bei der Aufgabe der Durchschnitt $\begin{eqnarray*} P(X\geq x+t\cap X\geq t) \end{eqnarray*}$ sein???

Ja, das kommt hin smile

Nun musst du das nur noch in eine Formel packen.

20.11.2011, 16:51

Schnösel

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Danke für deine Geduld^^

Für die Vollständigkeit:

$\begin{eqnarray*} P(X\geq x+t| X \geq t)= \frac{P((X\geq x+t) \cap (X\geq t))}{P(X\geq t)}=\frac{P(x+t\geq X) }{P(X\geq t)} \end{eqnarray*}$

Einsetzen liefert dann die gesuchte Behauptung...

smile

20.11.2011, 16:53

Math1986

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Zitat:

Original von Schnösel
Für die Vollständigkeit:

$\begin{eqnarray*} P(X\geq x+t| X \geq t)= \frac{P((X\geq x+t) \cap (X\geq t))}{P(X\geq t)}=\frac{P(x+t\geq X) }{P(X\geq t)} \end{eqnarray*}$

Einsetzen liefert dann die gesuchte Behauptung...

Nein, eben nicht:

Richtig wäre:
$\begin{eqnarray*} \frac{P(X\geq x+t) }{P(X\geq t)} \end{eqnarray*}$

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