Lineare Algebra

Neue Frage »

Mathe_Nici Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Algebra
Meine Frage:
U ist ein Untervektorraum von R^4. Dieser wird erzeugt durch die Vektoren (1, -2, 5,-3) und (2,3,1,-4) und (3,8,-3,-5). Dimension + Basis des Untervektorraums angeben.





Meine Ideen:
Dank der Linearkombination habe ich herausgefunden, dass es sich um die Dimension 2 handelt. Laut Lösung kann nun der ganze Untervektorraum mit jeweils 2 Vektoren als Basisvektoren abgebildet werden.

Jetzt meine Frage dazu: Man sagt ja, dass die Basisvektoren jeden Vektoren im entsprechenden Vektorraum abbilden müssen. Wie weiss ich hier eigentlich, wo die Grenze bei meinem Untervektorraum ist bzw. welche Vektoren ich hier darstellen muss? Ich weiss zwar, dass der Vektorraum durch diese 3 Vektoren definiert ist...aber irgendwie seh ich jetzt nicht ganz, WELCHE Vektoren ich mit den Basisvektoren abbilden kann.

Kann mir da jemand weiterhelfen? Vielen Dank.

Freundliche Grüsse Nicole
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Algebra
Du kannst jeden Vektor in dem Vektorraum darstellen durch eine Linearkombination der Basisvektoren.

Sind x,y zwei Basisektoren eines zweidimensionalen Vektorraums über einem Körper K, dann ist jeder Vektor des Raums darstellbar als a*x+b*y mit a,b aus K.
Mathe_Nici Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Algebra
Danke dir. Aber wo sehe ich, bis wohin mein Vektorraum geht?

Lieber Gruss Nicole
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Algebra
Wie "bis wohin"? die Frage verstehe ich nicht.
Mathe_Nici Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Algebra
Also wie ich oben beschrieben habe, kann ich nicht alle 3 Vektoren als Basisvektoren in diesem Vektorraum anschauen, da jeweils nur 2 unabhängig voneinander sind.

Wie kann ich nun aber überprüfen,dass ich alle Vektoren in meinem Vektorraum abdecke?

Ich weiss, dass ich die einzelnen Basisvektoren als Linearkombination darstellen kann. Aber wie kann ich überprüfen, dass ich auch wirklich alle Vektoren darstellen kann, wenn ich gar nicht weiss, bis WOHIN mein Vektorraum geht...Weisst du was ich meine?

Liebe Grüsse Nicole
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Algebra
Ne, verstehe ich nicht....

Du hast oben drei Vektoren gegeben, diese sollen ein Erzeugendensystem bilden, sie spannen also einen Vektorraum auf. Dieser Vektorraum ist ein Unterraum des IR^4.

Nun hast du herausgefunden, dass die Vektoren linaer abhängig sind, also keine Basis bilden, da eine Basis ja definiert ist als minimales Erzeugendensystem.

Jetzt streichen wir erst mal einen beliebugen Vektor heraus und schauen, ob die anderen beiden linear unabhängig sind, das sind sie (ich kann mir ein beliebiges paar herausnehmen, das linaer unabhängig ist).

Jetzt haben wir also das Erzeugendensystem minimiert und haben eine Basis gefunden, die aus zwei Vektoren besteht, also ist die Dimnsion des Unterraums 2.

Diese zwei Vektoren sind notwendig und hinreichend, den Unterraum aufzuspannen, dieser besteht aus allen Vektoren, die scih als Linearkombi dartellen lassen.

Beantwortet das deine Frage?
 
 
Mathe_Nici Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Algebra
Ja, danke dir vielmals!smile

Lieber Gruss Nicole
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »