Komposition injektiv, surjektiv, bijektiv

20.11.2011, 13:33

Sunrise

Komposition injektiv, surjektiv, bijektiv

Hallo liebes Mathe-Board! Wink

Das ist mein erster Post, also verhaut mich bitte nicht, falls ich bereits jetzt etwas falsch mache.

Es geht um folgende Aufgabe:

Seien f: X->Y und g: Y->Z Abbildungen. Zeigen Sie:

(i) f und g sind injektiv bzw. surjektiv bzw. bijektiv => g o f ist injektiv bzw. surjektiv bzw. bijektiv

Bevor es jetzt ans Beweisen geht, habe ich eine formale Frage. Reicht es zu zeigen: f und g sind bijektiv => g o f ist bijektiv, da die bijektivität ja die surjektivität und die injektivität einschließt?
Ich vermute zwar nicht, wollte dazu aber gerne mal eine zweite Meinung hören.

Btw: Wie kann ich hier die Abbildungen usw. so schick darstellen?

20.11.2011, 13:39

Mulder

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RE: Komposition injektiv, surjektiv, bijektiv
Zeige besser:

f und g sind injektiv bzw. surjektiv => g o f ist injektiv bzw. surjektiv

Daraus folgt das gleiche dann auch für Bijektivität. Bei deiner Richtung würdest du bei der Bijektivität ja letztlich sowieso Injektivität und Surjektivität getrennt nachweisen, so dass das keine Arbeitsersparnis in dem Sinne wäre. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Sunrise
Btw: Wie kann ich hier die Abbildungen usw. so schick darstellen?

Mit LaTeX:

$\begin{eqnarray*} f: X \to Y \, , \, x \mapsto f(x) \end{eqnarray*}$

Zitieren, dann siehst du den Quellcode. Rechts oben findest du einen Link zum Formeleditor. Der ist zum Einstieg sehr hilfreich.

20.11.2011, 13:56

Sunrise

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RE: Komposition injektiv, surjektiv, bijektiv
Ok also verstehe ich das richtig, dass ich das sozusagen 2 Teilaufgaben sind? Einmal die Injektivität und einmal die Surjektivität nachzuweisen?
Also bei der Injektivität bin ich bisher so weit, ich weiß aber nicht ob das so richtig ist:
f und g sind injektiv.
D.h.:
$\begin{eqnarray*} \forall x,x'\in X: x\neq x'\Rightarrow f(x)\neq f(x') \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \forall y,y'\in Y: y\neq y'\Rightarrow g(y)\neq g(y') \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x),f(x')\in Y \end{eqnarray*}$ , also seien $\begin{eqnarray*} f(x)= y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x')=y' \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \forall x,x'\in X: x\neq x'\Rightarrow f(x)\neq f(x') = y\neq y'\Rightarrow g(y)\neq g(y') = g(f(x))\neq g(f(x')) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow gof=g(f(x)) \end{eqnarray*}$ injektiv.

20.11.2011, 14:10

Mulder

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RE: Komposition injektiv, surjektiv, bijektiv
Ja, es sind zwei Teilaufgaben: Injektivität und Surjektivität. Die dritte Teilaufgabe, die Bijektivität, folgt ja direkt aus 1) und 2).

Die Beweisidee zur Injektivität ist okay so. Formal gibt's ein bisschen was zu mäkeln. Zum Beispiel hier:

Zitat:

Original von Sunrise
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \forall x,x'\in X: x\neq x'\Rightarrow f(x)\neq f(x') \color{red}=\color{black} y\neq y'\Rightarrow g(y)\neq g(y') \color{red}=\color{black} g(f(x))\neq g(f(x')) \end{eqnarray*}$

Diese Gleichheitszeichen sind problematisch. Ich weiß, was du hier sagen willst, aber so kannst du die Gleichheitszeichen nicht stehen lassen. Denn sie würden bedeuteten $\begin{eqnarray*} f(x')=y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(y')=g(f(x)) \end{eqnarray*}$ und das stimmt ja nicht. Das sind formale Fehler.

Vielleicht lässst du diese y und y' einfach weg. Du kannst ja aus x ungleich x' direkt f(x) ungleich f(x') und damit dann g(f(x)) ungleich g(f(x')) folgern. Vielleicht wird es beim Aufschreiben dann etwas leichter, weil man sich nicht mit sovielen Buchstaben rumquälen muss.

Das mit den y und y' ist aber natürlich nicht falsch. Aber dann Vorsicht mit den Gleichheitszeichen!

20.11.2011, 14:15

Sunrise

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Wow, ich bin stolz auf mich Big Laugh

könnte ich die "=" nicht einfach durch "<=>" ersetzen?? Denn ich würde das mit dem y und y' da gerne stehen lassen, da ich dann später, wenn ich nochmal nachschlagen sollte, wieder weiß worum es ging.

20.11.2011, 14:28

Mulder

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Zitat:

Original von Sunrise
könnte ich die "=" nicht einfach durch "<=>" ersetzen??

Fänd ich zwar immer noch nicht wirklich so schön, aber besser als Gleichheitszeichen ist es allemal.

Sonst spricht ja auch nichts dagegen, einfach ein paar erklärende Worte dazwischen zu schieben. Es zwingt dich ja niemand, daraus jetzt einen möglichst kryptischen und einzeiligen Formelsalat zu machen. Kriegst du schon irgendwie hin. Sonst wird dein Übungsleiter dich wohl korrigieren. Augenzwinkern

Ansonsten kannst du die y und y' natürlich stehen lassen. Hauptsache, du findest dich später darin zurecht.

20.11.2011, 15:01

Sunrise

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Ok danke schonmal soweit. Warst wirklich ne große Hilfe für mich. Freude

Vielleicht kannst du mir auch was zur Surjektivität sagen. So weit bin ich jetzt:
f und g surjektiv, d.h.:
$\begin{eqnarray*} \forall y\in Y\exists x\in X: \ f(x)=y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \forall z\in Z\exists y\in Y: \ g(y)=z \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Da \ f(x)=y \ und \ g(y)=z\Rightarrow g(f(x))=z \end{eqnarray*}$
Wegen surjektivität von f und g folgt: $\begin{eqnarray*} \forall z\in Z\exists x\in X: g(f(x))=z\Rightarrow gof(x)=g(f(x)) \ ist \ surjektiv. \end{eqnarray*}$

Ich bin damit selbst irgendwie nicht so ganz zufrieden, vielleicht kannst du mir da Tipps geben.

20.11.2011, 16:22

Sunrise

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Keiner, der helfen kann?

20.11.2011, 16:55

Mulder

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Zitat:

Original von Sunrise
Keiner, der helfen kann?

Nun mal bitte nicht so drängeln, hier sitzen ja keine Antwortmaschinen, die nur darauf warten, dass du endlich eine Frage stellst. Ein bisschen Geduld muss manchmal schon sein. Manche Leute warten hier auch mal ein oder zwei Tage auf eine Antwort.

Zur Frage: Ich bin da auch nicht so glücklich mit, denn das entscheidende Argument sehe ich irgendwie nicht.

Zu zeigen: $\begin{eqnarray*} \forall z \in Z \, \exists \, x \in X: g(f(x))=z \end{eqnarray*}$

Sei also z beliebig. Nun argumentiere erstmal mit der Surjektivität von g und danach mit der Surjektivität von f.

Du bist bestimmt nahe dran, hast es aber bisher noch nicht so richtig ordnen können.

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