fehlerkorrigierender Code

20.11.2011, 14:08	Tafelwerk	Auf diesen Beitrag antworten »
fehlerkorrigierender Code Also ich habe k={0,1,2,...,q-1} und $\begin{eqnarray} C\subseteq K^{d\times 1} \end{eqnarray}$ C sei t- fehlerkorrigierender Code. Beweise: $\begin{eqnarray} \| C \| \leq \lfloor \frac{q^d}{\sum\limits_{i=0}^t \begin{pmatrix} d \\ i \end{pmatrix}(q-1)^i} \rfloor \end{eqnarray}$ da C t-fehlerkorr, weiß ich das sich alle Vektoren in C an mind. 2t+1 Stellen unterscheiden. Die Anzahl aller Vektoren in $\begin{eqnarray} K^{d\times 1} \end{eqnarray}$ wären ja genau die $\begin{eqnarray} q^d \end{eqnarray*}$ .. Alles was ich von hier aus weitergefuehrt habe is quatsch und bringt mich kein Stück weiter. Wie kann ich von hier aus weitermachen?
20.11.2011, 14:25	galoisseinbruder	Auf diesen Beitrag antworten »
Berechne mal die Anzahl der Elemente mit Hamming-Distanz $\begin{eqnarray} \leq t \end{eqnarray}$ von irgendeinem beliebigen $\begin{eqnarray} x \in K^d \end{eqnarray}$ . Eine Anmerkung: Für q nicht prim ist $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}/ q \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ kein Körper. Deshalb ist die Schreibweise K={0,1,2,...,q-1} für einen Körper mit q Elementen ungut.
20.11.2011, 16:11	Tafelwerk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo. also es sind $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^t \begin{pmatrix} d \\ i \end{pmatrix} (q-1)^i \end{eqnarray}$ Elemente die zu x einen Abstand haben der kleinergleich t ist. Das passt ja gut zu der Formel die ich beweisen soll, aber i will ja Elemente haben deren Abstand $\begin{eqnarray} \geq 2t+1 \end{eqnarray*}$ Ich sehe da iwie keinen Zusammenhang .. mhh.. Vielen dank für die schnelle Hilfe!
20.11.2011, 16:30	galoisseinbruder	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast Du Dich noch nicht gewundert das ein Code t-fehlerkorrigierend heißt, wenn der minimalabstand $\begin{eqnarray} \geq 2t+1 \end{eqnarray}$ ist? (2t+1 wäre auf den ersten Blick natürlicher als Benennung) . Das liegt daran dass man in diesem Fall um jeden Punkt des Codes einen t-"Ball" (die Menge aller Punkte mit Abstand $\begin{eqnarray} \leq t \end{eqnarray*}$ )legen kann ohne dass diese sich schneiden. Und das liefert dann auch schon die Antwort auf die Ursprungsfrage.
20.11.2011, 17:33	Tafelwerk	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Der Groschen ist am Fallen.

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