ganzrationale Funktionen, Nullstellen oder doch pq Formel

20.11.2011, 15:23

onkelBOB

ganzrationale Funktionen, Nullstellen oder doch pq Formel

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich möchte jemanden in Mathematik helfen, weil früher Mathematik mein Lieblingsfach war.
Leider ist bei mir zuviel in Vergessenheit geraten und ich wäre dankbar für eine Lösung, bzw. Lösungsansätze. Mir geht es also nicht einfach um die Lösung, sondern darum, die Lösung auch zu verstehen - nur dann kann ich auch andere Aufgaben lösen, bzw. das verstandene Wissen weitergebn.

erstmal (eine) Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} f(x) = (x-3)(x^{3}-8x) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
also,

meine erste Idee war, es mit der pq Formel zu lösen, aber da es ja keine quadratische Gleichung ist, scheidet das aus, richtig? oder kann man die Aufgabe so umstellen das es doch damit zu lösen ist?

Ich denke, man muß es mit dem Funktionsterm für "ganzrationale Funktionen" lösen:
$\begin{eqnarray*} f(x) = a_{n} x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} + ...a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0} \end{eqnarray*}$

zuerst habe ich obige Aufgabe durch "multipliziertes Ausklammern" umgestellt und in die richtige Reihenfolge gebracht, um sie in die Formel einzusetzen...

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^{4} - 3x^{3} - 8x^{2} + 24x \end{eqnarray*}$

und dann in die Formel eingestzt:

$\begin{eqnarray*} f(x) = 1x^{4} + (-3x^{3}) + (-8x^{2}) + 24x + 0 \end{eqnarray*}$

ich hoffe, es ist bis hierher richtig.
aber nun weiß ich nicht weiter, evt. kann jemand helfen? sagen, wo mein Denkfehler ist? was mache ich falsch? wie geht es weiter?

20.11.2011, 15:29

Christian_P

Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Ideen sind gut, aber du hast es dir vielleicht etwas zu kompliziert gemacht. Ein Produkt ist genau dann gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren null ist.

$\begin{eqnarray*} 0=(x-3)(x^3-8x) \end{eqnarray*}$

Diese Gleichung hat zwei Faktoren. Es muss mindestens einer dieser Faktoren Null werden, damit die gesamte Gleichung Null ist.

Du wolltest doch die Nullstellen bestimmen, oder?

Gruß,
Christian

20.11.2011, 15:30

Quastor

Auf diesen Beitrag antworten »

to slow

20.11.2011, 15:39

onkelBOB

Auf diesen Beitrag antworten »

ja,
genau das ist die Aufgabenstellung: Bestimme die Nullstellen von f.

wie wird einer der Faktoren Null?

ich bin jetzt etwas verwirrt, bin evt. auch schon zu lange dran...

20.11.2011, 15:45

Christian_P

Auf diesen Beitrag antworten »

@Quastor; Sorry war ein bisschen schnell smile

kannst gern onkelBOB weiterhelfen

Ich muss weg, hab keine Zeit.

bye

21.11.2011, 14:17

Christian_P

Auf diesen Beitrag antworten »

Nimm mal an, deine Gleichung wäre ganz einfach aufgebaut.
Sagen wir so:

$\begin{eqnarray*} 0=a\cdot b \end{eqnarray*}$

Welche Eigenschaft muss a oder b annehmen, damit die Gleichung erfüllt wird?
Entweder a ist gleich Null oder b ist gleich Null (oder beide gleichzeitig)

$\begin{eqnarray*} 0=0\cdot b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=a\cdot 0 \end{eqnarray*}$

Die Lösungen a=0 und b=0 sind jeweils eine Lösung der Gleichung.

Jetzt sezten wir mal $\begin{eqnarray*} a=(x-3) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=(x^3-8x) \end{eqnarray*}$

dann sieht die Gleichung so aus:

$\begin{eqnarray*} 0=(x-3)(x^3-8x) \end{eqnarray*}$

Einer dieser beiden Faktoren muss mindestens Null sein (siehe oben), damit die Gleichung erfüllt wird. Mann kann die Faktoren also getrennt Null setzen und kann sich somit das umständlichere Ausmultiplizieren der Terme zu anfang sparen.

Die Nullstellen der Gleichung ergeben sich also, indem man diese beiden GLeichungen löst.

$\begin{eqnarray*} 0=(x-3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=(x^3-8x) \end{eqnarray*}$

PS: Auch wenn du es schon gewusst hast, hat mir trotzdem Spaß gemacht es zu schreiben. Ich hoffe ich konnte ein bisschen weiterhelfen.

Gruß,
Christian

21.11.2011, 20:37

onkelBOB

Auf diesen Beitrag antworten »

ok...

ich habe es mit Deinem Ansatz gestern so gelöst und hoffe, es stimmt in etwa:

$\begin{eqnarray*} (x - 3)(x^{3} - 8x) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x - 3 = 0 \end{eqnarray*}$ | jetzt nach x auflösen
$\begin{eqnarray*} x - 3 = 0 \end{eqnarray*}$ | +3

$\begin{eqnarray*} x = 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x^{3} - 8x) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x(x^{2} - 8) = 0 \end{eqnarray*}$

somit habe ich einen weiteren Nullpunkt:
$\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{2} - 8 = 0 \end{eqnarray*}$ | jetzt nach x auflösen
$\begin{eqnarray*} x^{2} - 8 = 0 \end{eqnarray*}$ | + 8
$\begin{eqnarray*} x^{2} = 8 \end{eqnarray*}$ | $\begin{eqnarray*} \sqrt{8} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x = \sqrt{8} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x = 2,8284 \end{eqnarray*}$

also habe ich folgende Nullstellen:

$\begin{eqnarray*} x_{1} = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{2} = 2,8284 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{3} = 3 \end{eqnarray*}$

das einzige was mich stört ist, das $\begin{eqnarray*} x_{2,3} \end{eqnarray*}$ sehr (zu) nahe beieinander liegen.

ich hoffe, ich habe alles einigermaßen richtig hingeschrieben.

vielen dank für Deine Hilfe, Christian P.

22.11.2011, 12:49

Christian_P

Auf diesen Beitrag antworten »

In der Mathematik gibt eigentlich kein zu nahe, solange ein Abstand zwischen den beiden Nullstellen vorhanden ist,
ist alles gut Augenzwinkern

und wie es scheint, sind deine Nullstellen korrekt.

Gruß

22.11.2011, 13:34

Maddin17

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von onkelBOB
$\begin{eqnarray*} x^{2} = 8 \end{eqnarray*}$ | $\begin{eqnarray*} \sqrt{8} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x = \sqrt{8} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x = 2,8284 \end{eqnarray*}$

sry wenn ich mich einmische, aber hier fehlt doch noch
$\begin{eqnarray*} <br /> x = - \sqrt{8}<br /> \end{eqnarray*}$
,oder?

22.11.2011, 13:39

Christian_P

Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt

Naja, einen kleinen Fehler können wir dem onkelBOB verzeihen Augenzwinkern

29.11.2011, 21:54

onkelBOB

Auf diesen Beitrag antworten »

ok, nochmal vielen Dank...

ich habe das jetzt verstanden,
außerdem die pq Formel und mittlerweile sogar auch die Polydivisoin, sowie die Substitution.
Dem Bekannten, dem ich es versuche beizubringen, versteht es auch so langsam!

jetzt kommt aber etwas, wo ich im Moment überhaupt keinen Plan habe, wie ich diese Aufgabe angehen soll...

Die Funktion f mit $\begin{eqnarray*} f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \end{eqnarray*}$ mit ganzzahligen Koeffizienten a, b , c
und d hat die angegebenen Nullstellen. Bestimme a, b, c und d.

x = 0; x = -4; x = 4/5tel

??

also, man muß ja hier alles genau umgekehrt machen, aber wie??

29.11.2011, 22:20

Netjunky

Auf diesen Beitrag antworten »

Das wird durch ein Gleichungssystem gelöst.
Im Grunde hast du ja 3 Punkte gegeben:
P01=(0;0)
P02=(-4;0)
P03=(0,8;0)

Du nimmst dann deine Funktion der allg. Form erstellst daraus 3 Gleichungen indem du die x-koordinaten einsetzt.

30.11.2011, 21:48

onkelBOB

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke schonmal...

aber,
ich finde den "Einstieg" nicht, komm einfach nicht drauf, wie ich diese Aufgabe angehe...

gibt es für diese Art eine Themenüberschrift?? damit ich mich evt. wie schon bei allen anderen mathematischen Aufgabengebieten "einlesen" kann?

Neue Frage »

Antworten »

ganzrationale Funktionen, Nullstellen oder doch pq Formel

Verwandte Themen