Teilmengen eines Unterraums

20.11.2011, 15:04

Vinyl

Teilmengen eines Unterraums

Tag zusammen,

ich hätte eine Frage bzgl. einer Aufgabe die gelöst werden will.

Die Aufgabenstellung ist, dass man untersuchen soll, ob bestimmte Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^n \end{eqnarray*}$ ein Unterraum sind.

Eine Teilmenge wäre zum Beispiel:

a) $\begin{eqnarray*} U_1 = \left\{(x_1,x_2,...,x_n) \in \mathbb R ^n |x_1+x_2+...+x_n=0\right\} \end{eqnarray*}$

U ist ja schon mal nicht die leere Menge. Auch bzgl. der Addition ergeben sich keine Probleme, genauso wie bei der Vektormultiplikation.

Reicht das sschon als Aussage, dass U ein Unterraum ist?

bei b) fehlen uns jegliche Ideen.

b) $\begin{eqnarray*} U_1 = \left\{(x_1,x_2,...,x_n) \in \mathbb R ^n |x_1=1\right\} \end{eqnarray*}$

Vielleicht könnte uns jemand bei einem Ansatz helfen.

Mfg Vinyl

20.11.2011, 15:09

zweiundvierzig

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RE: Teilmengen eines Unterraums

Zitat:

Original von Vinyl
a) $\begin{eqnarray*} U_1 = \left\{(x_1,x_2,...,x_n) \in \mathbb R ^n |x_1+x_2+...+x_n=0\right\} \end{eqnarray*}$

U ist ja schon mal nicht die leere Menge. Auch bzgl. der Addition ergeben sich keine Probleme, genauso wie bei der Vektormultiplikation.

Hier meintest Du eher die Skalarmultiplikation. Außerdem solltest Du noch erwähnen, dass auch Inversenbildung möglich ist (oder gleich statt additiver Abgeschlossenheit das Kriterium $\begin{eqnarray*} u,v \in U_1 \implies u-v \in U_1 \end{eqnarray*}$ benutzen)*.

Zitat:

Original von Vinyl
b) $\begin{eqnarray*} U_1 = \left\{(x_1,x_2,...,x_n) \in \mathbb R ^n |x_1=1\right\} \end{eqnarray*}$

Welches Element muss jeder Unterraum enthalten?

Edit: Sorry, Abgeschlossenheit gegenüber Addition genügt natürlich.

20.11.2011, 15:10

lgrizu

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RE: Teilmengen eines Unterraums

Zitat:

Original von Vinyl

a) $\begin{eqnarray*} U_1 = \left\{(x_1,x_2,...,x_n) \in \mathbb R ^n |x_1+x_2+...+x_n=0\right\} \end{eqnarray*}$

U ist ja schon mal nicht die leere Menge. Auch bzgl. der Addition ergeben sich keine Probleme, genauso wie bei der Vektormultiplikation.

Reicht das sschon als Aussage, dass U ein Unterraum ist?

Jap, das reicht, man sollte noch zeigen, dass der Nullvektor darin liegt. Das hat immer auch den Vorteil, dass, wenn der Nullvektor in der Menge liegt, diese definitiv nicht leer ist.

Zitat:

Original von Vinyl
bei b) fehlen uns jegliche Ideen.

b) $\begin{eqnarray*} U_1 = \left\{(x_1,x_2,...,x_n) \in \mathbb R ^n |x_1=1\right\} \end{eqnarray*}$

Liegt der Nullvektor in der Menge?

22.11.2011, 10:56

Vinyl

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Entschuldigung, dass ich nicht gleich geantwortet habe.

Ja, ich meinte natürlich die Skalarmultiplikation.

Zu b) Nein, der Nullvektor ist nicht enthalten, da sonst 1=0 gelten müsste. Stimmt das so?

Allg. stehen wir aber vor der Schwierigkeit zu zeigen, dass die Unterräume bzgl. der Multiplikation und der Addition abgeschlossen sind. Vorgestern haben wir das einfach als selbstverständlich angenommen, wissen nun allerdings doch nicht, wie man das zeigt bzw. beweist.
Vielleicht könntet ihr da noch einen kleinen Anstoß geben. Würde uns bestimmt sehr helfen!

Vielen Dank und Grüße,
Vinyl

22.11.2011, 12:43

Vinyl

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Ok, die ganze Geschichte hat sich inzwischen geklärt.

-Ende-

Vinyl

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