Konvergenz Beweis laut mit Definition

20.11.2011, 16:56	Tutnetgut	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz Beweis laut mit Definition Meine Frage: Aufgabe: Zeigen sie mit Hilfe der Definition von Konvergenz, dass die Folge $\begin{eqnarray} a(n):=(n+1)/2^n \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ \{0} konvergiert. Geben sie den Grenzwert an und beweisen sie, dass $\begin{eqnarray} {a_{n} } \end{eqnarray}$ gegen diesen Grenzwert konvergiert. Tipp: schreiben sie (n+1)/2^n als $\begin{eqnarray} ((n/2)/2^n)+((n/2)/2^n)+(1/2^n) \end{eqnarray}$ und benutzen sie, dass $\begin{eqnarray} (n+1)<2^n \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Aus dem Ansatz $\begin{eqnarray} (n+1)<2^n \end{eqnarray}$ kann ich erkennen, dass der Grenzwert 0 sein muss. Laut Definition folg also: \| $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ -0\|< Epsilon. Wenn ich das einsetze, so folgt: $\begin{eqnarray} \|(n+1)/2^n\|< \end{eqnarray}$ Epsilon Für die Voraussetzung $\begin{eqnarray} n>0 \end{eqnarray}$ kann ich dann annehmen, dass $\begin{eqnarray} (n+1)/2^n>0 \end{eqnarray}$ und deshalb betragstriche weglassen. $\begin{eqnarray} \Rightarrow (n+1/2^n)-0< \end{eqnarray}$ Epsilon. Wie geh ich jetzt aber weiter vor, um das zu beweisen?
21.11.2011, 08:59	egal0000	Auf diesen Beitrag antworten »
Daran hätte ich auch Interesse. Den Grenzwert beweisen kann man zwar durch vollst. Induktion beweisen, aber bei dem Konvergenz Beweis komm ich nicht weiter
21.11.2011, 09:52	Calahan	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz Beweis laut mit Definition Der binomische Lehrsatz liefert für $\begin{eqnarray} n\geq 2 \end{eqnarray}$ folgende Abschätzung: $\begin{eqnarray} 2^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}\geq 1+n+\frac{n(n-1)}2. \end{eqnarray}$ Damit geht's dann ganz bequem weiter.
22.11.2011, 09:01	egal0000	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, ich versteh es immer noch nicht
22.11.2011, 10:44	Calahan	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz Beweis laut mit Definition Mit der Abschätzung, die ich Dir schon gegeben hatte können wir die Folge gegen etwas recht Elementares wie z.B. $\begin{eqnarray} \frac 4n,\text{ für }n\geq 3 \end{eqnarray}$ nach oben abschätzen. Für die Folge $\begin{eqnarray} \left(\frac 4n\right)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray}$ sollte es nun aber nicht schwer fallen, zu gegebenem $\begin{eqnarray} \varepsilon>0 \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} n_0\in\mathbb N \end{eqnarray}$ zu finden, so dass $\begin{eqnarray} \frac 4n <\varepsilon,\text{ für alle }n\geq n_0. \end{eqnarray}$ Nach unserer Vorüberlegung tut's diese Wahl von $\begin{eqnarray} n_0 \end{eqnarray}$ aber auch für die zu untersuchende Folge und wir sind fertig.
23.11.2011, 16:22	Albo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz Beweis laut mit Definition Hallo, mich interessiert das auch, nur leider versteh ich immer noch nicht was Du gemacht hast... Wie bist du denn auf den lehrsatz gekommen ? Gruß
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23.11.2011, 16:48	Calahan	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz Beweis laut mit Definition Nach dem binomischen Lehrsatz gilt: $\begin{eqnarray} 2^n=(1+1)^n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}1^k1^{n-k}=\sum_{k=0}^n{n\choose k}. \end{eqnarray}$ In der Summe auf der rechten Seite sind alle Summanden positiv. Betrachten wir nun nur die ersten 3 Summanden und lassen alle anderen weg, so verkleinern wir die Summe und erhalten wir für $\begin{eqnarray} n\geq 2 \end{eqnarray}$ die Abschätzung: $\begin{eqnarray} 2^n\geq\sum_{k=0}^2{n\choose k}=1+n+\frac{n(n+1)}2. \end{eqnarray}$
23.11.2011, 16:58	Albo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz Beweis laut mit Definition hmm ok das hab ich nun verstanden. Aber was haben wir nun davon, wenn wir das in unsere ungleichung einsetzen ? wir müssen ja nach n auflösen... Oh man tut mir leid dass ich so schwer von begriff bin danke für deine geduld und hilfe !

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