periodische zahl als bruch

20.11.2011, 17:26	chrlan1	Auf diesen Beitrag antworten »
periodische zahl als bruch Meine Frage: Wie löse ich folgende Aufgabe?: Schreiben Sie die periodischen Dezimalbrüche a) 3,438888... (Periode 8) b) 7,5112797797797... (Periode 797) als Brüche c) Seien $\begin{eqnarray} (p_n)_{n\ge 1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (q_n)_{n\ge 1} \end{eqnarray}$ Folgen natürlicher Zahlen derart, dass $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty}\frac{p_n}{q_n} \end{eqnarray}$ irrational ist. Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} (p_n)_{n\ge 1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (q_n)_{n\ge 1} \end{eqnarray}$ unbeschränkt sind. Meine Ideen: Meine Ideen wären für a und b entweder ausprobieren, oder als Grundlage den Beweis der irrationalität von zahlen zu nehmen und damit letztendlich auf den bruch zu kommen, aber die zahlen sind ja nicht irrational.
20.11.2011, 17:53	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} x = 3{,}43 \bar{8} \end{eqnarray}$ Welcher Dezimalbruch ergibt sich für $\begin{eqnarray} 100x \end{eqnarray}$ ? Und welcher für $\begin{eqnarray} 1000x \end{eqnarray}$ ? Folglich welcher für $\begin{eqnarray} 1000x-100x = 900 x \end{eqnarray}$ ? Aus der letzten Gleichung kannst du $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ bestimmen.
20.11.2011, 22:41	chrlan1	Auf diesen Beitrag antworten »
stimmt. so krieg ich die periode daraus. ist mir absolut nicht eingefallen. danke! aber wie mach ich denn die c?
22.11.2011, 17:20	chrlan1	Auf diesen Beitrag antworten »
hat vllt jemand ne idee für die c? p_n und q_n sind ja x-beliebige folgen. versteh nicht wie ich das machen soll
23.11.2011, 13:53	chrlan1	Auf diesen Beitrag antworten »
push hat niemand eine idee?
24.11.2011, 09:55	chrlan1	Auf diesen Beitrag antworten »
hab in der c die idee, das p_n/q_n unbeschränkt sein muss, da sonst eine rationale zahl rauskommen muss, da man jede rationale zahl durch einen bruch darstellen kann. wie kann ich den ansatz nutzen?
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24.11.2011, 10:17	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
c) kann man sehr gut indirekt beweisen: Angenommen, $\begin{eqnarray} (p_n) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (q_n) \end{eqnarray}$ sind beschränkt. Dann nehmen beide Folgen nur endlich viele verschiedene Werte an, folglich besteht auch die Folge $\begin{eqnarray} \left( \frac{p_n}{q_n} \right) \end{eqnarray}$ nur aus endlich vielen verschiedenen Werten. Eine solche Folge kann aber nur Häufungswerte besitzen, die gleich einem Folgenwert sind, in diesem Fall also rational - Widerspruch.
24.11.2011, 10:36	chrlan1	Auf diesen Beitrag antworten »
cool danke!

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