Diagonalisierbarkeit von Matrizen

08.01.2007, 19:52

Cordovan

Diagonalisierbarkeit von Matrizen

Gruße!

Ich habe eine kurze und vermutlich einfach zu beantwortende Frage.

Angenommen ich habe eine $\begin{eqnarray*} n\times n \end{eqnarray*}$ -Matrix, zu der ich $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ verschiedene Eigenwerte und Eigenvektoren gefunden habe. Lässt sie sich dann auf jeden Fall diagonalisieren? Ein Freund von mir hat gesagt, es gibt auch Matrizen, bei denen ich zwar die Eigenwerte habe, sie sich aber nicht diagonalisieren lässt.

Ich suche jetzt schon die ganze Zeit nach einem Beispiel, finde aber keins. Denn wenn ich die Eigenvektoren als Spaltenvektoren meiner Matrix $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ nehme, kann ich sie doch auf jeden Fall invertieren, da die Eigenvektoren linear unabhängig sind und die Determinante damit ungleich 0, oder?

Dann gilt doch $\begin{eqnarray*} C^{-1}\cdot A\cdot C = D \end{eqnarray*}$

Vielen Dank!

Cordovan

08.01.2007, 20:25

Mazze

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Wenn Du n Paarweise verschiedene Eigenvektoren einer nxn Matrix hast ist sie auf jeden Fall diagonalisierbar. Eine Matrix (die einen endomorphismus beschreibt) ist diagonalisierbar genau dann wenn es eine Basis der Eigenvektoren gibt. Sei a die algebraische Vielfachheit und g die geometrische Vielfachheit , dann ist für jeden Eigenwert lambda

$\begin{eqnarray*} 1 \leq g(\lambda) \leq a(\lambda) \end{eqnarray*}$

Da Du n paarweise verschiedene Eigenwerte hast und obige Ungleichung gilt, hast Du zu jedem Eigenwert einen zu den anderen Eigenvektoren der anderen Eigenwerte linear unabhängigen Eigenvektor und damit eine Basis des Eigenraums. Damit ist die Matrix diagonalisierbar.

Zitat:

Ein Freund von mir hat gesagt, es gibt auch Matrizen, bei denen ich zwar die Eigenwerte habe, sie sich aber nicht diagonalisieren lässt.

Folgende Matrix ist zum Beispiel nicht diagonalisierbar:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Allerdings hat diese keine n Paarweise versch. Eigenwerte.

Solange Du n paarweise verschiedene Eigenwerte hast ist die zugehörige Matrix immer diagonalisierbar!

Man kann das Kriterium auch etwas allgemeiner schreiben:

Sei $\begin{eqnarray*} k \leq n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A \in \mathbb{K}^{n,n} \end{eqnarray*}$ , dann ist A genau dann diagonalisierbar wenn gilt:

Das char. Polynom zerfällt in linearfaktoren und
$\begin{eqnarray*} a(\lambda_k) = g(\lambda_k) \end{eqnarray*}$ für alle Eigenwerte $\begin{eqnarray*} \lambda_k \end{eqnarray*}$

08.01.2007, 20:43

Cordovan

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Danke für diese ausführliche und gut verständliche Antwort! Freude

Cordovan

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