Grenzwerte von bestimmten Folgen bestimmen

20.11.2011, 17:37	chrlan1	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwerte von bestimmten Folgen bestimmen Meine Frage: Es sei $\begin{eqnarray} a>0 \end{eqnarray}$ eine reelle Zahl. Existieren in $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ die Grenzwerte der Folgen $\begin{eqnarray} (a_n)_{n\ge 1} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} (b_n)_{n\ge 1} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} (c_n)_{n\ge 1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (d_n)_{n\ge 1} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a_n =\frac{\sqrt n}{1+2 \sqrt n} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} b_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} c_n=\sqrt n \left(\sqrt{n+a}-\sqrt n\right) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} d_n=n \left(\sqrt{a+\frac 1 n}-\sqrt{1- \frac 1 n}\right) \end{eqnarray}$ ? Bestimmen Sie die Grenzwerte gegebenenfalls. Meine Ideen: Also bei a_n wollte ich das so erweitern, dass sich der Bruch durch eine leichtere Folge abschätzen lässt. Bei b_n Wollte ich das eigentlich quadrieren um die Wurzel loszuwerden, aber das geht auch nicht so einfach. Bei c_n hab ich noch gar keine Idee und bei d_n auch noch nicht.
21.11.2011, 10:41	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwerte von bestimmten Folgen bestimmen Bei a_n würde ich mal $\begin{eqnarray} \sqrt n \end{eqnarray}$ ausklammern. Bei b_n kannst du mal mit $\begin{eqnarray} \sqrt{n+1} + \sqrt{n} \end{eqnarray}$ erweitern.
22.11.2011, 17:19	chrlan1	Auf diesen Beitrag antworten »
hab mich vertippt. $\begin{eqnarray} d_n = n\left( \sqrt{1+\frac 1 n}-\sqrt{1-\frac 1 n}\right) \end{eqnarray}$ ok. die a war ja einfach, da war ich echt blind. ich versuch mal die b
22.11.2011, 17:26	chrlan1	Auf diesen Beitrag antworten »
hab bei der b_n deinen rat mal befolgt komme dann auf 1. ist das richtig?
22.11.2011, 17:34	chrlan1	Auf diesen Beitrag antworten »
hab mich vertan. bei b_n kommt 0 raus ganz sicher
22.11.2011, 17:49	chrlan1	Auf diesen Beitrag antworten »
hab jetz c_n und d_n analog versucht komme an dieser stelle nicht weiter: $\begin{eqnarray} c_n =\frac{n\cdot a}{\sqrt{n^2 + n\cdot a}+n} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} d_n = \frac {2 n}{\sqrt{n^2 +n}+\sqrt{n^2-n}} \end{eqnarray}$ wie forme ich das jetzt um, dass ich den grenzwert ablesen kann?
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22.11.2011, 18:46	chrlan1	Auf diesen Beitrag antworten »
hab bei d_n 0 raus und bei c_n ne fallunterscheidung gemacht: für a<n kommt a/2 raus und für a=n kommt a/wurzel2 +1 raus. stimmt das? dann könnte ich die aufgabe jetzt abschliessen

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