Lineare Konvergenz

20.11.2011, 17:50

numerikmuffel

Lineare Konvergenz

Hallo!

Ich habe eine Folge gegeben und soll nun zeigen dass diese Folge nicht linear konvergent ist.
Ich habe mir die Definition rausgesucht, nur weiß ich leider trotzdem nicht weiter unglücklich

Muss ich mir den Grenzwert dieser Folge berechnen und dann solange herumprobieren bis ich auf eine falsche Aussage komme??

Liebe Grüße

20.11.2011, 17:55

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lineare Konvergenz
Nicht linear im Sinne von "noch nicht mal linear"? Aus der Definition der Konvergenz bzw. der linearen Konvergenz sollte klar sein, wie man mit Abschätzungen ansetzt.

Für alles andere werden potentielle Helfer mehr Informationen - sprich die Folge - benötigen.

20.11.2011, 17:59

numerikmuffel

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lineare Konvergenz
Die Folge lautet:
xn = 1/(n²)

ich bin leider wirklich planlos was ich damit machen soll, wobei es wahrscheinlich nicht mal schwer ist, zu zeigen dass diese diese Eigenschaft niocht erfüllt unglücklich

20.11.2011, 18:07

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lineare Konvergenz
Reiche bitte auch die Definition der linearen Konvergenz nach.

$\begin{eqnarray*} x_n =\frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$

20.11.2011, 18:13

numerikmuffel

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lineare Konvergenz
E . . . es existiert
V . . . für alle
e . . . Element aus

E K e (o,1) V n e N: |xn+1 - x| kleiner gleich K |xn - x|

wobei hier x der Grenzwert der Folge ist

20.11.2011, 18:18

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lineare Konvergenz
Wie wäre es mit "Ich lerne latex und bis dahin nutze ich den Formeleditor."?

So, gibt es hier denn so ein fixes K. Was kann man allgemein über 2 nachfolgende Glieder der Folge aussagen? Wie sehen die überhaupt aus?

Wie lautet der Grenzwert der Folge?

20.11.2011, 18:23

numerikmuffel

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lineare Konvergenz
Hmm ja werde ich jetzt dann machen

Die Folge konvergiert gegen null, d.h. der grenzwert liegt bei 0.
und folge ist monoton fallend. . .

suche ich diese folgenglieder, für welche diese K nicht zwischen 1 und null liegt?

20.11.2011, 18:25

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lineare Konvergenz

Zitat:

Original von numerikmuffel
E . . . es existiert
V . . . für alle
e . . . Element aus

E K e (o,1) V n e N: |xn+1 - x| kleiner gleich K |xn - x|

wobei hier x der Grenzwert der Folge ist

Was ist also das x? Wie lautet konkret unsere gesuchte Abschätzung?

20.11.2011, 18:31

numerikmuffel

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lineare Konvergenz
|xn+1| kleiner gleich K |xn|

Folgenglieder sind: 1, 0.25, 0.125, 0.0625, 0.04

0.25 kleiner gleich K*1
0.125 kleiner gleich K*0.25

Dann löse ich diese Ungleichungen?

20.11.2011, 18:36

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lineare Konvergenz
Wie war das mit dem Formeleditor?

$\begin{eqnarray*} |x_{n+1}| \leq K \cdot |x_n| \end{eqnarray*}$

also, nehmen wir mal an es gibt ein K aus (0,1) so dass für alle n gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(n+1)^2} \leq K \cdot \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$

Wie erzeugen wir daraus einen Widerspruch?

20.11.2011, 18:42

numerikmuffel

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lineare Konvergenz
warum kommt da nur ein n und nicht n²?
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(n+1)²} \leq K \frac{1}{n²} \end{eqnarray*}$

20.11.2011, 18:45

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lineare Konvergenz
Tippfehler.

20.11.2011, 18:47

numerikmuffel

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lineare Konvergenz
Das mit dem Formeleditor hat leider nciht funktioniert unglücklich

Aber ich rechne mir mein K aus ?

Ich weiß es nicht unglücklich

ich versteh nicht wohin ich muss . . ich verwezeifle unglücklich

20.11.2011, 18:49

numerikmuffel

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lineare Konvergenz
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(n+1)2} \leq \frac{1}{n2} \end{eqnarray*}$

20.11.2011, 18:51

numerikmuffel

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lineare Konvergenz
Jetzt hab ich das K vergessen und der 2 sollte ^2 bedeuten unglücklich

20.11.2011, 18:53

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lineare Konvergenz
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(n+1)^2} \leq K \cdot \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$

Bringe das n² auf die linke Seite, löse im Nenner die Klammer auf und überlege mal, gegen was die Linke Seite für n ->oo strebt.

20.11.2011, 18:55

numerikmuffel

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lineare Konvergenz
$\begin{eqnarray*} K \geq \frac{n^{2} }{(n+1)^{2} } \end{eqnarray*}$

das K liegt ja in dem Fall immer zwischen 0 und 1 oder?

20.11.2011, 18:56

numerikmuffel

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lineare Konvergenz
das geht ja gegen unendlich oder?

20.11.2011, 19:02

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lineare Konvergenz
Wie setzen an: Es gibt ein K aus (0,1) mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(n+1)^2} \leq K \cdot \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ für alle n. Dann gilt

$\begin{eqnarray*} \frac{n^2}{n^2+2n+1} \leq K \end{eqnarray*}$

für alle n. Was ist nun

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\frac{n^2}{n^2+2n+1} = ? \end{eqnarray*}$

Warum sollte das gegen oo gehen? Begründung?

20.11.2011, 19:13

numerikmuffel

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lineare Konvergenz
Hammer

$\begin{eqnarray*} \frac{\infty }{\infty + \infty + 1} \end{eqnarray*}$
also gegen 1 oder 0?

20.11.2011, 19:14

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lineare Konvergenz
Das ist unmathematisch. Wie berechnet man Grenzwerte => Ana I und Abiturwissen. Danach ist auch kein "oder" mehr zu erwarten. Augenzwinkern

20.11.2011, 19:16

numerikmuffel

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lineare Konvergenz
Vielen, vielen Dank, dass deine Geduld bisher unermüdlich ist smile

Vielen vielen Dank!!!! für alles bisher smile

musste mal gesagt werden Freude

20.11.2011, 19:18

numerikmuffel

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lineare Konvergenz
1?
Ich kann nicht mehr klar denken traurig

20.11.2011, 19:26

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lineare Konvergenz

Zitat:

Original von numerikmuffel
1?
Ich kann nicht mehr klar denken traurig

Ist dieser Satz deine Begründung des Grenzwertes?

20.11.2011, 19:30

numerikmuffel

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lineare Konvergenz
wenn es 1 wäre
dann wäre K $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ und somit die Folge nicht nlinear konvergent oder?

20.11.2011, 19:32

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lineare Konvergenz
Begründe zunächst die 1.

20.11.2011, 19:32

numerikmuffel

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lineare Konvergenz
K $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 1

20.11.2011, 19:37

numerikmuffel

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lineare Konvergenz
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{1}{1+ \frac{2}{n}+ \frac{1}{n^2} } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{1+ 0+ 0} \end{eqnarray*}$

20.11.2011, 19:45

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lineare Konvergenz
Augenzwinkern

Und ja, der Rest für doch dann zum Widerspruch K<1 (Vor) und K >= 1 Folgerung

20.11.2011, 19:51

numerikmuffel

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lineare Konvergenz
Huuu Vielen vielen Dank!!!! Vielen vielen Dank!!!! Vielen Vielen Dank!!!!!! smile

Eine Frage hätte ich noch:
wie berechne ich diesen Grenzwert? bzw. was ist der Grenzwert?
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } e^{-n} \end{eqnarray*}$ = ?

20.11.2011, 19:56

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lineare Konvergenz
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } e^{-n} = \lim_{n \to \infty }\frac{1}{e^{n}} = ? \end{eqnarray*}$ , weil n>0.

20.11.2011, 19:58

numerikmuffel

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lineare Konvergenz
0 oder?

20.11.2011, 20:07

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lineare Konvergenz
ja.