Eine Vereinigung mit einer Menge "unendlich"

20.11.2011, 18:37

dreikommadrei

Eine Vereinigung mit einer Menge "unendlich"

Sei $\begin{eqnarray*} \overline{\mathbb N }:= \mathbb N \cup \left\{ \infty \right\} \end{eqnarray*}$

a) Definieren Sie eine bijektive Abbildung f von $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \overline{\mathbb N } \end{eqnarray*}$

b) Wir erweitern die Ordnung $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ zu einer Ordnung auf $\begin{eqnarray*} \overline{\mathbb N } \end{eqnarray*}$ durch:

für alle $\begin{eqnarray*} x \in \overline{\mathbb N } \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} x \leq \infty \end{eqnarray*}$
Wir nennen eine Abbildung f von $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \overline{\mathbb N } \end{eqnarray*}$ ordnungserhaltend, wenn für alle $\begin{eqnarray*} x,y \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} x \leq y \Rightarrow f(x) \leq f(y) \end{eqnarray*}$

Zeigen sie, dass es keine Ordnungserhaltende Bijektion von $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \overline{\mathbb N } \end{eqnarray*}$ gibt.

Ich hab hier folgendes Problem:

Ich weiß nicht mal, was $\begin{eqnarray*} \left\{ \infty \right\} \end{eqnarray*}$ sein soll. Ich mein klar, ne Unendliche Menge aber das haben wir in der Vorlesung nie definiert. Ist das jetzt nur die Unendlichkeit in eine Richtung? Oder geht es in beide Richtungen?

Da ich weiß, was eine Bijektive Abbildung ist (Surjektiv und Injektiv) weiß ich ja zumindest, dass die Mächtigkeit von $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ der von $\begin{eqnarray*} \overline{\mathbb N } \end{eqnarray*}$ entspricht..
Also ist $\begin{eqnarray*} \mathbb N = \overline{\mathbb N } \end{eqnarray*}$ ?
Immerhin ist $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ ja mindestens eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \overline{\mathbb N } \end{eqnarray*}$ und müsste demnach ja auch die gleiche Menge sein...

Dann könnte ich als Abbildung ja einfach sagen
$\begin{eqnarray*} f:\mathbb N \rightarrow \overline{\mathbb N }: x \mapsto x \end{eqnarray*}$

oder nicht?

20.11.2011, 18:43

tmo

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Es ist völlig egal was $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ sein soll, es ist einfach nur ein Symbol. Meinentwegen kannst du bei der Aufgabe sogar vergessen, dass es in anderen Kontexten das Symbol für "unendlich" ist.

Deine angegebene Abbildung ist sicher nicht surjektiv, denn $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ hat kein Urbild.

20.11.2011, 18:45

zweiundvierzig

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RE: Eine Vereinigung mit einer Menge "unendlich"

Zitat:

Original von dreikommadrei
Ich hab hier folgendes Problem:

Ich weiß nicht mal, was $\begin{eqnarray*} \left\{ \infty \right\} \end{eqnarray*}$ sein soll.

Hier steht $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ nicht für eine Menge, sondern eine neue "Zahl", die größer als alle natürlichen Zahlen ist.

Zitat:

Original von dreikommadrei
Da ich weiß, was eine Bijektive Abbildung ist (Surjektiv und Injektiv) weiß ich ja zumindest, dass die Mächtigkeit von $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ der von $\begin{eqnarray*} \overline{\mathbb N } \end{eqnarray*}$ entspricht..

Na gut, Du musst schon eine Bijektion angeben. Beide Mengen sind nicht gleich, denn per Defintion gibt es in $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ keine Zahl $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} x \leq n \end{eqnarray*}$ . Um eine Zahl mit dieser Eigenschaft zu haben, "unendlich groß zu sein", holt man sich eben $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ dazu.

Was ist denn eine naheliegende Abbildung $\begin{eqnarray*} \mathbb N \to \overline{\mathbb N} \end{eqnarray*}$ , die zudem bijektiv ist?

20.11.2011, 18:52

dreikommadrei

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RE: Eine Vereinigung mit einer Menge "unendlich"

Zitat:

Original von zweiundvierzig

Zitat:

Original von dreikommadrei
Ich hab hier folgendes Problem:

Ich weiß nicht mal, was $\begin{eqnarray*} \left\{ \infty \right\} \end{eqnarray*}$ sein soll.

Hier steht $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ nicht für eine Menge, sondern eine neue "Zahl", die größer als alle natürlichen Zahlen ist.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f(0) \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(\sigma(n)) \rightarrow n \end{eqnarray*}$

da 0 kein "Nachfolger" ist, wäre das ganze ja Eindeutig definiert...

20.11.2011, 20:47

tmo

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Ja also, damit hätten wir ja solch eine Abbildung schon. Freude

Der Beweis, dass das Ding bijektiv, steckt ja sogar direkt in den Peano-Axiomen drin. Da ist eigentlich nichts mehr zu machen smile

20.11.2011, 21:11

Leopold

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RE: Eine Vereinigung mit einer Menge "unendlich"

Zitat:

Original von dreikommadrei
$\begin{eqnarray*} f(0) \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(\sigma(n)) \rightarrow n \end{eqnarray*}$

Aber auch richtig aufschreiben:

$\begin{eqnarray*} f(0) = \infty, \ f \left( \sigma(n) \right) = n \end{eqnarray*}$

Eine ordnungserhaltende Bijektion $\begin{eqnarray*} f: \mathbb{N} \to \overline{\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ kann man durch

$\begin{eqnarray*} x<y \ \ \Rightarrow \ \ f(x)<f(y) \end{eqnarray*}$

charakterisieren. Denn wenn $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ verschieden sind, kann wegen der Injektivität auch rechts keine Gleichheit mehr bestehen. Mit $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist auch $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ ordnungserhaltend. Wie sieht das nun mit $\begin{eqnarray*} x=f^{-1}(\infty) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma(x) \end{eqnarray*}$ aus?

20.11.2011, 22:30

dreikommadrei

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ich hab einfach einmal angenommen, dass es eine ordnungserhaltende bijektion gibt.

und dann ein n betrachtet, für das gilt
$\begin{eqnarray*} f(n)=\infty \end{eqnarray*}$

es gilt: $\begin{eqnarray*} f(n)\leq f(\sigma(n)) \end{eqnarray*}$
also auch $\begin{eqnarray*} \infty \leq f(\sigma(n)) \end{eqnarray*}$

Da nun $\begin{eqnarray*} \forall x\in \mathbb N ~ gilt ~ x\geq \infty \end{eqnarray*}$
folgt $\begin{eqnarray*} f(\sigma(n))= \infty \end{eqnarray*}$

d.H. $\begin{eqnarray*} f(\sigma(n))= f(n) \end{eqnarray*}$

da sigma(n) ungleich n, ist dies ein wiederspruch zur annahme das die Abbildung bijektiv, also auch injektiv ist...

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