Vektorrechnung

29.06.2004, 23:13

MasterOfPuppets

Vektorrechnung

Hallo zusammen, habe folgendes Problem und komme auf keinen grünen Zweig:
gegeben ist ein zweidimensionaler Vektor $\begin{align*} \vec{v} \end{align*}$ .
Es soll nun die beiden Einheitsvektoren berechnet werden, die mit $\begin{align*} \vec{v} \end{align*}$ jeweils einen Winkel von 45° bilden. Wie stelle ich das an? Ich denke die Formel $\begin{align*} \vec{a}\cdot\vec{b}=\|\vec{a}\|\cdot\|\vec{b}\|\cdot\cos \alpha \end{align*}$ könnte mir weiterhelfen... ich blicke es trotzdem nicht...
kann mir jemand helfen?

30.06.2004, 11:35

Mazze

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Sei a also einer der beiden Einheitsvektoren (im R^2 gibs nur 2) dann gilt folgendes

$\begin{align*} a*v = |a|*|v|*cos(c) <=> \frac{a*v}{|a|*|v|} = cos(c) \end{align*}$

dein Ansatz also

$\begin{align*} cos^{-1}(\frac{a*v}{|a|*|v|}) = 45 \end{align*}$

Jetzt setzt du einfach die beiden Einheitsvektoren ein, wenn eine wahre Aussage rauskommt sind die beiden Vektoren unter dem betreffenden Winkel geschnitten, sonst nicht.

30.06.2004, 12:33

MasterOfPuppets

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Zitat:

Sei a also einer der beiden Einheitsvektoren (im R^2 gibs nur 2)

Wir hatten im Unterricht den Begriff "Einheitsvektor" folgendermaßen definiert: "Beträgt die Länge eines Vektors 1, dann nennt man diesen Vektor Einheitsvektor".
Es gibt demnach beliebig viele Einheitsvektoren, nicht nur die trivialen Einheitsvektoren $\begin{align*} $\array{0\\1}$ \end{align*}$ und $\begin{align*} $\array{1\\0}$ \end{align*}$ . So ist z.B. auch $\begin{align*} $\array{\frac{1}{2}\\\sqrt{\frac{3}{4}}}$ \end{align*}$ ein Einheitsvektor.
Da es nun unendlich viele Einheitsvektoren gibt macht dein Lösungsvorschlag für mich wenig Sinn.

30.06.2004, 14:59

Mazze

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ja ups dann hab ich das mit der basis verwechselt, naja der ansatz ist ähnlich du suchst also einen vektor a der den betrag 1 hat.

$\begin{align*} \sqrt{a^2 + b^2 } = 1 \end{align*}$

<=>

$\begin{align*} a^2 + b^2 = 1 \end{align*}$

<=>

$\begin{align*} a = \sqrt{1-b^2} \end{align*}$

=>

alle Vektoren die den betrag 1 haben genügen folgender Form

$\begin{align*} $\array{\sqrt{1-b^2}\\b}$ \end{align*}$

bzw

$\begin{align*} $\array{a\\\sqrt{1-a^2}}$ \end{align*}$

Das jetzt für den ansatz bringen
(in meinen ansatz einsetzen ...)

30.06.2004, 15:25

MasterOfPuppets

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Jupp das isses!
Dankeschön!
Hätt ich auch selber drauf kommen können...
Trotzdem danke!

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