Dreiecksbeweis Kongruenz sss

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way Auf diesen Beitrag antworten »
Dreiecksbeweis Kongruenz sss
Hallo,

Gegeben sei ein Dreieck, bei dem alle Mittelpunkte der Seiten miteinander verbunden sind,
Es entstehen hierbei 4 kongruente Dreiecke.
Hat einer eine Idee wie ich das beweisen kann?

Grüsse...
Egal Auf diesen Beitrag antworten »

Schritt 1: Zeichnung anfertigen
Schritt 2: gleiche Seitenlängen und gleiche Winkel suchen.
 
 
way Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die schnelle Antwort, das hab ich schon gemacht.
Komme aber leider nicht weiter.
Egal Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du auch schon mit den Strahlensätzen argumentiert?
way Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, noch nicht.
Ich würde es gerne mit dem Kongruenzsatz sss versuchen, da es in einem Buch für Gymnasien in dem Kapitel gefragt wird.

Wenn ich nur zeigen könnte, dass die Seiten des inneren Dreiecks jeweils parallel sind zu den äusseren Seiten, würde ich bestimmt weiterkommen, aber ich hab keine Idee wie ich das zeigen kann.
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

Mach doch mal Strahlensätze, damit zeigst du das die Seitengleich lang sind und so weiter, dann kannst du sss anwenden
Egal Auf diesen Beitrag antworten »

Deswegen die Frage nach dem Strahlensatz mit dem könntest du nämlich unter anderem das zeigen.
way Auf diesen Beitrag antworten »

ok, dann schau ich mal kurz wie das mit den strahlensätzen funktioniert, melde mich dann gleich...
wobei ich nicht genau weiss ob das im gymnasium vorher durchgenommen wurde, und ob ich das anwenden darf hier...
Falls es eine andere Möglichkeit gibt, wäre es natürlich besser.
way Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komme gerade nicht weiter.
Man könnte zwar die längen der Seiten des inneren Dreiecks mit dem Strahlensatz ausrechen, aber wie man das dann konkret mit Variablen rechnet, bekomm ich nicht hin.

Vielleicht gibt es ja doch eine andere Möglichkeit ohne den Strahlensatz :-)
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich brauchst du keine Variablen bzw. keine Gleichungen. Dir muss nur klar sein, dass die Seiten von allen vier kleinen Dreiecken HALB so lang sind, wie die Seiten des gegebenen Dreieckes. Und DIES kannst du nur mittels Strahlensatz (Ähnlichkeit) zeigen. Da alle Seitenmittelpunkte die Seiten im Verhältnis 1 : 1 teilen (d.h. in die Hälfte), sind die kleinen Seiten zu den großen parallel, in Folge sind die entsprechenden Winkel gleich, daraus erkennen wir letztendlich die eingangs erwähnte Eigenschaft.

Wie zu Beginn schon festgestellt, wird dir eine (richtige) Skizze mehr sagen, als viele Worte.

mX+
way Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, erst mal danke für die Antwort, Du sagst, weil alle Seitenmittelpunkte die Seiten im Verhältnis 1 : 1 teilen, sind die kleinen Seiten zu den grossen parallel.

Wieso ist das so?

Grüsse...
Egal Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du dich nicht endlich auf den Strahlensatz einlässt kommen wir nicht weiter.
way Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann lasse ich mich eben darauf ein, wenn es keine andere Möglichkeit gibt.
Aber wie ich das anhand des Strahlensatzes allgemein zeigen kann, weiss ich wirklich nicht.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

umkehrung des strahlensatzes
zitat aus dem link:
Bemerkung (Umkehrung des Strahlensatzes): Ist Eigenschaft 1 erfüllt, so kann man auf parallele Geraden schließen.

und damit hast du doch, was du suchst, oder verwirrt
werner
way Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, soweit habe ich es verstanden. Jetzt habe ich in der Mitte des grossen Dreiecks ein Parallelogramm. und da bei einem Prallelogramm die gegenüberliegenden Winkel gleich sind, habe ich zwei kongruente Dreiecke in der Mitte des grossen Dreiecks.

Wie kann ich jetzt weiter zeigen, dass die parallelen genau halb so lang sind wie die gegenüberliegenden Seiten?
Egal Auf diesen Beitrag antworten »

Hm? Paralelogramm versteh ich nicht. Alle Seitenverhältnisse lassen sich mit den beiden Strahlensätzen ermitteln.
way Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn Du dir eine Skizze machst, erkennst Du, dass die mittleren 2 Dreiecke ein Parallelogramm ergeben.
Das muss nach dem Strahlensatz ja auch so sein.
Aber wie mache ich jetzt weiter...
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Vergiss bitte das Parallelogramm! Es ist gar nicht so kompliziert. Es sind einfach 4 gleiche Dreiecke, das mittlere ist "auf den Kopf gestellt! Da alle Seiten parallel sind, sind auch die Winkel gleich und wegen der Halbierungspunkteigenschaft auch die entsprechenden Seiten gleich und somit alle 4 Dreiecke kongruent. Ende Big Laugh

mY+
way Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe zwar nicht was Du genau meinst, aber wenn Du sagst Ende, dann ist es eben Ende.
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