Unterschied Transponierte und Adjungierte

21.11.2011, 09:45

Hansen38

Unterschied Transponierte und Adjungierte

Hallo Leute,

mir hat sich plötzlich eine Frage gestellt, die ich jetzt (nach 1 Jahr LinAlg)
nicht mehr beantworten kann unglücklich

Wenn ich mit Matrizen arbeiten, die komplex seien könnten,
muss ich dann statt Transponierten immer Adjungierte verwenden?
Auch wenn ich gar kein Innenprodukt möchte?

Wie ist das nochmal? Ich habe nämlich das gefühl ich kann
auch ganz einfach mit Transponierten Arbeiten.

Danke

21.11.2011, 10:14

Black

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Bei reellen Matrizen ist die adjungierte das Gleiche wie die transponierte Matrix.
Wenn du zu einer komplexen Matrix die adjungierte bestimmen musst, dann ist diese gerade die transponierte der komplex konjugierten, d.h $\begin{eqnarray*} adj(A)={\overline A}^T \end{eqnarray*}$

21.11.2011, 11:03

Calahan

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Zu einer Matrix $\begin{eqnarray*} A\in M_n(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ bezeichne $\begin{eqnarray*} A' \end{eqnarray*}$ die adjungierte (oder auch komplementäre) Matrix und $\begin{eqnarray*} A^t \end{eqnarray*}$ die transponierte Matrix.
Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} (A^t)'=(A')^t. \end{eqnarray*}$

Das Adjungieren ist also mit dem Transponieren von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ verträglich.

Im allgemeinen gilt aber nicht

$\begin{eqnarray*} A^t=A'. \end{eqnarray*}$

21.11.2011, 11:17

Black

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Zitat:

Original von Calahan
Zu einer Matrix $\begin{eqnarray*} A\in M_n(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ bezeichne $\begin{eqnarray*} A' \end{eqnarray*}$ die adjungierte (oder auch komplementäre) Matrix und $\begin{eqnarray*} A^t \end{eqnarray*}$ die transponierte Matrix.
Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} (A^t)'=(A')^t. \end{eqnarray*}$

Das Adjungieren ist also mit dem Transponieren von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ verträglich.

Im allgemeinen gilt aber nicht

$\begin{eqnarray*} A^t=A'. \end{eqnarray*}$

Ich glaube du verwechselst das mit der adjunkten Matrix

21.11.2011, 11:56

Hansen38

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Hallo Leute, danke für die Antwort.

Den Unterschied zwischen Adjungierter und Transponierter Kenne ich.
Ich frage mich nur, ob ich überhaupt die Adjungierte brauche, z.b. hier:

A eine komplexe Matrix, x ein Komplexer Vektor.

$\begin{eqnarray*} Ax=0 \iff x^{\top}A = 0 \end{eqnarray*}$

das stimmt doch, oder muss ich schon hier $\begin{eqnarray*} Ax=0 \iff x^*A=0 \end{eqnarray*}$ schreiben?

21.11.2011, 11:58

Hansen38

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Es tut mir leid, natürlich meinte ich

$\begin{eqnarray*} Ax=0 \iff x^{\top}A^{\top} = 0 \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} Ax=0 \iff x^*A^*=0 \end{eqnarray*}$

21.11.2011, 12:33

Calahan

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Zitat:

Original von Black
Ich glaube du verwechselst das mit der adjunkten Matrix

Hmh, das glaube ich nicht!

Die 'Adjunkte von A' ist doch nichts weiter als eine andere Bezeichnung für die 'komplementäre' oder eben 'adjungierte' Matrix von A.

Könnte es sein, dass Du da etwas verwechselst und möglicherweise die konjugierte und nicht die adjungierte gemeint hast?!?

21.11.2011, 12:48

galoisseinbruder

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@Calahan@Black
Ihr habt beide Recht. Man bezeichnet sowohl die komplementäre Matrix also auch die Matrix $\begin{eqnarray*} \bar{A}^t \end{eqnarray*}$ als zu A adjungierte Matrizen. Der Fragensteller meint vernutlich Letzeres.

21.11.2011, 13:10

Hansen38

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Hallo Leute,

sorry für die Verwirrung.

Ich meine mit Adjungierte Matrix von A, die Matrix, die man
durch konjugieren aller Elemente und Transponieren der Matrix
erhält.

22.11.2011, 18:50

Hansen38

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RE: Unterschied Transponierte und Adjungierte
Hallo Leute,

kann mich jemand aufklären bitte?

Danke smile

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