Injektivität einer Wurzelfunktion

21.11.2011, 10:01

Jaso

Injektivität einer Wurzelfunktion

Hallo,
seit gestern mittag sitze ich nun an einer Aufgabe bzgl.der Injektivität und der Surjektivität einer Funktion und komme nicht weiter. Wie das an sich funktioniert ist mir klar, ich kann es nur nicht lösen.
$\begin{eqnarray*} f(x) = x\sqrt{1+x^{2} } \end{eqnarray*}$

Injektivität: zu zeigen ist also $\begin{eqnarray*} f(x_{1}) = f(x_{2}) \Rightarrow x_{1} = x_{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_{1} \sqrt{1+x_{1}^{2}} = x_{2} \sqrt{1+x_{2}^{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_{1}^{2} (1+x_{1}^{2}) = x_{2}^{2} (1+x_{2}^{2}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_{1}^{2} +x_{1}^{4} = x_{2}^{2} +x_{2}^{4} \end{eqnarray*}$

Nun komme ich nicht weiter. Ich habe an bin.Formeln gedacht, aber da komme ich immer auf das Ergebnis, dass f nicht injektiv ist, was jedoch falsch sein muss, da f ja nur eine Gerade ist und somit injektiv ist. Ach die Abb.ist übrigens von R nach R.

$\begin{eqnarray*} (x_{1}^{2}+\frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{4} = (x_{2}^{2}+\frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (x_{1}^{2}+\frac{1}{2})^{2} = (x_{2}^{2}+\frac{1}{2})^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_{1}^{2}+\frac{1}{2} = x_{2}^{2}+\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_{1}^{2} = x_{2}^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_{1} = x_{2} \vee x_{1} = -x_{2} \end{eqnarray*}$

Was habe ich falsch gemacht? Bei der Surjektivität ist es dasselbe Problem, nur dass ich die Gleichung

$\begin{eqnarray*} y = x\sqrt{1+x^{2} } \end{eqnarray*}$ nach x auflösen möchte.
Vielen Dank schonmal im Voraus.

21.11.2011, 10:52

Dustin

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Hallo Jaso!
Also die Rechnung ist soweit schonmal gut und richtig! Zuallererst einmal:

Zitat:

da f ja nur eine Gerade ist

Wie um alles in der Welt kommst du darauf??????? Wurzelfunktionen sind doch keine Geraden!!
Injektiv ist die Funktion aber tatsächlich. Du hast bislang auch nichts falsch gemacht, nur deine Schlussfolgerung stimmt nicht. Du hast jetzt folgendes gezeigt:

$\begin{eqnarray*} f(x_{1}) = f(x_{2}) \Rightarrow x_{1} = x_{2} \vee x_1=-x_2 \end{eqnarray*}$

Beachte, dass es sich lediglich um eine Implikation in eine Richtung und nicht um Äquivalenz handelt, da z.B. der Schritt, wo du auf beiden Seiten quadriert hast, keine Äquivalenzumformung war!
Du musst also mit deinen erhaltenen Lösungen unbedingt die Probe machen! Dann wirst du sofort feststellen, dass $\begin{eqnarray*} x_1=-x_2 \end{eqnarray*}$ KEINE Lösung der ursprünglichen Bedingung $\begin{eqnarray*} f(x_1)=f(x_2) \end{eqnarray*}$ ist!

Viele Grüße, Dustin

21.11.2011, 10:54

ollie3

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RE: Injektivität einer Wurzelfunktion
hallo jaso,
du hast nichts falsch gemacht, f ist wirklich injektiv, nur bei dem beweis ist das alte problem, wenn man eine gleichung quadriert,
das dann immer eine zweite lösung hinzukommt (in dem fall x1=-x2). Man müsste jetzt noch zeigen, dass die 2.lösung nicht
zutreffen kann. Übrigens ist f keine gerade.
gruss ollie3

21.11.2011, 11:20

Jaso

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RE: Injektivität einer Wurzelfunktion
Ohhhh, ähm, okay.^^ Ich hatte eine Wertetabelle gemacht und einen Ausschnitt gezeichnet, um zu sehen, ob sie injektiv ist, und da kam eine Gerade raus.
Setze ich dann das $\begin{eqnarray*} -x_{2} \end{eqnarray*}$ in die Ursprungsfunktion ein, um zu sehen, dass es keine Lösung ist? Bei anderen Aufgaben lag das dann nicht im Def.bereich, so dass man es leicht ausschließen konnte.

Ich würde dann folgendes machen:

$\begin{eqnarray*} -x_{2} \end{eqnarray*}$ einsetzen in die Gleichung

$\begin{eqnarray*} f(x_{1}) = f(x_{2}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow -x_{2} \sqrt{1+(-x_{2})^{2}} = x_{2} \sqrt{1+x_{2}^{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow -x_{2} \sqrt{1+x_{2}^{2}} = x_{2} \sqrt{1+x_{2}^{2}} \end{eqnarray*}$

und das ist ja falsch.

Vielen Dank schonmal! Jetzt bin ich nur noch überfordert mit der Surjektivität, da ich das ganze dann mit y auf der anderen Seite lösen muss und dann zu der Stelle
$\begin{eqnarray*} y^{2} = x^{2} +x^{4} \end{eqnarray*}$
komme und dann ähnlich wie oben herausbekomme:

$\begin{eqnarray*} (x^{2}+\frac{1}{2})^{2} = y^{2}+\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x^{2}+\frac{1}{2} = \sqrt{y^{2}+\frac{1}{4}} \end{eqnarray*}$

Und dasselbe halt nochmal mit -. Nun müsste ich dann ja nochmal die Wurzel ziehen... Aber kann das sein? Bzw. woran sehe ich jetzt schon, dass das Ergebnis im Def.bereich liegt?

21.11.2011, 11:38

Dustin

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Zitat:

Ohhhh, ähm, okay.^^ Ich hatte eine Wertetabelle gemacht und einen Ausschnitt gezeichnet, um zu sehen, ob sie injektiv ist, und da kam eine Gerade raus.

Und dann meintest du, du kannst hier mit der Erkenntnis prahlen, dass die Gleichung "offensichtlich" einer Gerade entspricht? smile

Stattdessen hast du jetzt geoutet, dass du die Geradengleichung y=mx+t vergessen hast Big Laugh

(Deine Wertetabelle wird wohl einfach noch mehr Werte brauchen...)

Injektivität passt jetzt soweit. Ich würde noch dazuschreiben, dass es sich bei dem Einsetzen um einen Widerspruchsbeweis handelt.

Also dann zur Surjektivität:

Zitat:

Und dasselbe halt nochmal mit -.

Das kannst du dir sparen, wenn du dir überlegst, welches Vorzeichen beide Seiten der Gleichung haben müssen.

Zitat:

Nun müsste ich dann ja nochmal die Wurzel ziehen... Aber kann das sein?

Wieso nicht? Zu zeigen bliebe dann noch, dass beide Wurzeln existieren (also die Radikanden positiv sind). Und Probe nicht vergessen!

21.11.2011, 12:01

Jaso

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Super, vielen Dank! smile

21.11.2011, 12:04

Leopold

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Die Aufgabe wurde hier mit Methoden der Algebra gelöst. Es geht aber auch mit Methoden der Analysis. Wegen $\begin{eqnarray*} f(-x) = -f(x) \end{eqnarray*}$ (Punktsymmetrie des Graphen zum Ursprung) genügt es, den Fall $\begin{eqnarray*} x \geq 0 \end{eqnarray*}$ zu behandeln. Offenbar nimmt $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ für diese $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ keine negativen Werte an.

Da $\begin{eqnarray*} x \mapsto x^2 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x \geq 0 \end{eqnarray*}$ streng monoton wächst, tut dies auch $\begin{eqnarray*} x \mapsto x^2 + 1 \end{eqnarray*}$ . Auch die Wurzelfunktion ist streng monoton wachsend, daher auch die Verkettung $\begin{eqnarray*} x \mapsto \sqrt{1+x^2} \end{eqnarray*}$ . Und das Produkt aus zwei streng monoton wachsenden nichtnegativen Funktionen, nämlich $\begin{eqnarray*} x \mapsto x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \mapsto \sqrt{1+x^2} \end{eqnarray*}$ , ist wieder streng monoton wachsend.

Fazit: $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ wächst in $\begin{eqnarray*} x \geq 0 \end{eqnarray*}$ streng monoton. Wegen der Punktsymmetrie wächst $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ daher überall streng monoton und ist damit injektiv.

Natürlich kann man für die Monotonieuntersuchung auch die Ableitung heranziehen. Aber wie gesehen geht es hier auch ohne.

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