Bestimmte Integrale mit Substitution

21.11.2011, 10:35

looser13

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Bestimmte Integrale mit Substitution

Meine Frage:
Hallo, wir haben ein paar Aufgaben zum Thema Substitution von Integralen auf, aber ich weiß nicht, wie das geht. Kann mir jemand helfen?
$\begin{eqnarray*} \int_1^1 \! f(\frac{e^{2x}-1 }{e^{x} +1} ) \, dx \end{eqnarray*}$

Das Integral ist von -1 bis 1 ( das ließ sich i-wie nicht ändern)

Meine Ideen:
Ich wollte den Nenner substituieren:
$\begin{eqnarray*} e^{x} +1 \end{eqnarray*}$
u'(x)= e^x
Die Frage ist, was soll ich mit dem Zähler machen?

21.11.2011, 10:47

Bjoern1982

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Denke für den Term im Zähler mal an die 3. binomische Formel.

21.11.2011, 10:57

looser13

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das wäre
$\begin{eqnarray*} (e^{x} -1)*(e^{x} +1) \end{eqnarray*}$

Und dann?
Durch die Substitution erhält man erst:
$\begin{eqnarray*} u'(x)=\frac{dx}{du} = e^{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} du=e^{x} *dx \end{eqnarray*}$

Wie geht es dann weiter?

21.11.2011, 11:04

looser13

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Ich habe es rausgefunden. Derr Nenner fällt weg und es bleibt nur e^x -1 übrig.
Daraus kann man die Stammfunktion e^x -1x bilden.
Wir sollten die Aufgaben mit der Substitution machen, das ist dann leider komplizierter....
Es kommt auf jedem Fall 0,35 raus, was ich auch mit dem Taschenrechner überprüft habe

21.11.2011, 12:00

looser13

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Die Aufgabe lass ich so stehen.

Eine Frage hätte ich aber noch: wie kommt man von e^x auf e^2x ?
Wird dabei e quadriert, und die Exponente addiert?
Das würde mich intetressieren...

21.11.2011, 12:11

Mulder

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$\begin{eqnarray*} e^{2x}=e^{x+x}=e^x \cdot e^x = (e^x)^2 \end{eqnarray*}$

Nach Potenzgesetzen. Zu der -1 als untere Grenze im Integral: Nutze auch da geschweifte Klammern:

\int_{-1}^{1}

Eine sinnvolle Möglichkeit zu substituieren sehe ich hier übrigens auch nicht. Man kann natürlich irgendwas vor sich hin substituieren, aber wenn es dadurch nur komplizierter wird, bringt das ja nicht soviel.

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21.11.2011, 12:42

looser13

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Danke für die Antwort.
Den Ausdruck brauche ich für eine Aufgabe die lautet:

$\begin{eqnarray*} \int_{-ln2}^0 \! f(\frac{e^{-2x} }{1+e^{-x} } ) \, dx \end{eqnarray*}$

Meine Überlegung war den Nenner zu substituieren:

$\begin{eqnarray*} u(x)=(1+e^{-x}) \end{eqnarray*}$
Daraus folgt:
$\begin{eqnarray*} u'(x)=e^{-x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx} =e^{-x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} du= e^{-x} *dx \end{eqnarray*}$

Und jetzt gibt es diesen Hinderniss, der mich nicht weiterrechnen lässt...
Das neue Integral ist bei mir
$\begin{eqnarray*} du^2=e^{-2x} *dx \end{eqnarray*}$

Daraus folgt:
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! f(\frac{1^2}{u} ) \, du \end{eqnarray*}$

Das am Ende macht ja i-wie wenig Sinn unglücklich

unglücklich

Ist das vllt. richtig? Dann muss ich noch die neuen Grenzen bestimmen und die Stammfunktion bilden

21.11.2011, 12:49

Mulder

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Zitat:

Original von looser13
Danke für die Antwort.
Den Ausdruck brauche ich für eine Aufgabe die lautet:

$\begin{eqnarray*} \int_{-ln2}^0 \! f(\frac{e^{-2x} }{1+e^{-x} } ) \, dx \end{eqnarray*}$

Meine Überlegung war den Nenner zu substituieren:

$\begin{eqnarray*} u(x)=(1+e^{-x}) \end{eqnarray*}$
Daraus folgt:
$\begin{eqnarray*} u'(x)=e^{-x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx} =e^{-x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} du= e^{-x} *dx \end{eqnarray*}$

Bis hierhin okay. Jetzt musst du nur noch richtig einsetzen.

Zitat:

Original von looser13
Das neue Integral ist bei mir
$\begin{eqnarray*} du^2=e^{-2x} *dx \end{eqnarray*}$

Das ist kein Integral. Und kannst du mir mal erklären, was $\begin{eqnarray*} du^2 \end{eqnarray*}$ sein soll? Das macht doch überhaupt keinen Sinn.

21.11.2011, 13:00

looser13

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Ich dachte dass "du^2" sein muss, um auf e^-2x zu kommen.
Die neuen Grenzen des Integrals sind
von -ln2 => 3
von 0 => 2

Und dann weiß ich nicht mehr, was ich mit dem Zähler machen muss.
Kommt da auch einfach ein u^2 statt e^2x
$\begin{eqnarray*} \int_2^3 \! f(\frac{u^2}{u} ) \, du \end{eqnarray*}$

?

21.11.2011, 13:04

Mulder

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Das Problem ist, dass der Ausdruck du^2 gar keinen Sinn macht. Ich meine, was soll das sein? Und nun hatten wir uns doch eigentlich gerade mit Potenzgesetzen befasst, alles schon wieder vergessen?

Wenn $\begin{eqnarray*} e^{-2x}=e^{-x} \cdot e^{-x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \dd u = e^{-x} \, \dd x \end{eqnarray*}$ ist, dann ist doch auch

$\begin{eqnarray*} e^{-2x} \, \dd x = e^{-x} \, \dd u \end{eqnarray*}$

Das kannst du doch genau so einsetzen. Dann bleibt immer noch ein e^(-x) im Zähler stehen, sicher. Aber das ersetzt du dann einfach auch wieder durch u.

$\begin{eqnarray*} u=1+e^{-x} \end{eqnarray*}$

Löse nach $\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$ auf.

Und lass bitte in den Integralen mal dieses f(...) weg. Was soll das f da?

21.11.2011, 13:14

looser13

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Warum muss ich nach e^-x auflösen?
Der Nenner wurde substituiert. Im Nenner steht also nur ein u
$\begin{eqnarray*} \int_2^3 \! \frac{e^-2x}{u} \, du \end{eqnarray*}$

Ich habe trotzdem auch nach e^-x aufgelöst und es kommt e^-x= u-1
Heißt das, dass e^-2x = (u-1)^2 ist?

$\begin{eqnarray*} \int_2^3 \! (\frac{(u-1)^2}{u} ) \, du \end{eqnarray*}$

Ist das richtig?
Und sorry für das f, bin ich draufgekommen das zu löschen...

21.11.2011, 13:21

Mulder

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Zitat:

Original von looser13
Warum muss ich nach e^-x auflösen?
Der Nenner wurde substituiert. Im Nenner steht also nur ein u
$\begin{eqnarray*} \int_2^3 \! \frac{e^-2x}{u} \, du \end{eqnarray*}$

Das ist einfach falsch. Wir hatten:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{e^{-2x}}{1+e^{-x}} \, \dx \end{eqnarray*}$

Der gesamte Nenner wurde substituiert, da kommt nur ein u rein, richtig.

Mach dir folgendes klar: Wenn du mit diesen du und dx rumrechnest, kannst du die - rein formal - als Faktoren aufflassen. Und das dx steht dabei im Zähler, wenn man so will. Also eigentlich so:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{e^{-2x} \cdot \dx }{1+e^{-x}} \end{eqnarray*}$

Schreibt man nur so nicht hin, es ist nur so eine "Eselsbrücke", damit man damit rechnen kann.

Und nun landen wir wieder hier:

Zitat:

Original von Mulder
Wenn $\begin{eqnarray*} e^{-2x}=e^{-x} \cdot e^{-x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \dd u = e^{-x} \, \dd x \end{eqnarray*}$ ist, dann ist doch auch

$\begin{eqnarray*} e^{-2x} \, \dd x = e^{-x} \, \dd u \end{eqnarray*}$

Wie gesagt: Wenn's hilft, denk dir überall ein Malzeichen dazwischen.

21.11.2011, 13:36

looser13

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Dass die beiden Ausdrücke, die du am Ende geschrieben hast verstehe ich jetzt.
Dann sieht das Integral so aus:
$\begin{eqnarray*} \int_2^3 \! \frac{u-1}{u} \, du \end{eqnarray*}$

Ok, vielen Dank. Ich habe mir so viele Überlegungen gemacht, weil wir im Unterricht so ein Integral hatten
$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! \frac{4x}{e^{x^2-1} } \, dx \end{eqnarray*}$
und dann wurde x^2-1 substituiert ->
$\begin{eqnarray*} u'(x)=\frac{du}{dx}=2x \end{eqnarray*}$

Und dann hat der Lehrer geschrieben 2du= 4x dx ( das wäre also das gleiche, wie im Zähler)

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \frac{2du}{e^{u} } \, \end{eqnarray*}$
Dadurch aauch meine Verwirrung bei der Aufgabe. Ich habe mich an diesem Beispiel orientiert...
Ist das jetzt richtig?

21.11.2011, 13:45

Mulder

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Zitat:

Original von looser13
Dass die beiden Ausdrücke, die du am Ende geschrieben hast verstehe ich jetzt.
Dann sieht das Integral so aus:
$\begin{eqnarray*} \int_2^3 \! \frac{u-1}{u} \, du \end{eqnarray*}$

Nicht ganz. ich sehe gerade, dass ich via Copy and Paste einen Fehler die ganze Zeit mitgeschleppt habe. Es ist ja nicht $\begin{eqnarray*} u'(x)=e^{-x} \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} u'(x)=-e^{-x} \end{eqnarray*}$ . Wir haben die innere Ableitung völlig vergessen. Dadurch ändert sich nicht allzuviel, du musst nur überall die Vorzeichen noch richtig stellen. Die prinzipielle Vorgehensweise bleibt die gleiche. Sorry für die Verwirrung, da war ich unaufmerksam.

Zitat:

Original von looser13
Und dann hat der Lehrer geschrieben 2du= 4x dx ( das wäre also das gleiche, wie im Zähler)

Ja, manchmal passt das so wunderbar. Aber eben nicht immer.

Schreib den Zähler als

$\begin{eqnarray*} e^{-2x} = (-e^{-x}) \cdot (-e^{-x}) \cdot \, \dx \end{eqnarray*}$

Dann kannst du es ersetzen. Das gleiche bei

$\begin{eqnarray*} u=1+e^{-x} \end{eqnarray*}$

Das musst du dann nach $\begin{eqnarray*} -e^{-x} \end{eqnarray*}$ auflösen.

21.11.2011, 13:55

looser12

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Dann habe ich :
$\begin{eqnarray*} \frac{(-e^{-x})*(-e^{-x}) }{u} dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{(-1-u)*(-1-u)}{u} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{1+2u+u^2}{u} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_2^3 \! \frac{1+2u+u^2}{u} \, du \end{eqnarray*}$

Stimmt das jetzt? Muss man daraus dann die Stammfunktion bilden?Wie geht das eigentlich, wenn ich einen Bruch habe? Kann man das u im Nenner vorziehen?

21.11.2011, 14:31

Mulder

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Hä? Vorhin war es doch alles richtig, bis auf die Vorzeichen. jetzt ist es wieder alles Unsinn.

$\begin{eqnarray*} u' = -e^{-x} \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} \dd u = -e^{-x} \, \dd x \end{eqnarray*}$

Ich hatte doch gesagt, schreib den Zähler so um:

$\begin{eqnarray*} e^{-2x} = (-e^{-x}) \cdot (-e^{-x}) \cdot \, \dx \end{eqnarray*}$

23.11.2011, 11:23

looser13

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Ok, das verstehe ich schon. Aber u ist ja 1+ e^-1
Ich weiß einfach nicht,wie ich den Zähler ändern soll.
Ist der Zähler
$\begin{eqnarray*} (-e^-u)*(-e^-u) \end{eqnarray*}$
?
mit der Formel du= -e^-x * dx kann ich nicht viel anfangen, weil ich nicht weiß, was das für ne Auswirkung auf den Zähler hat..

23.11.2011, 11:55

Mulder

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Da ich merke, dass du jetzt nur noch rumrätst (und die Resultate immer konfuser werden), beende ich das mal.

Zitat:

Original von looser13
$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{u-1}{u} \, du \end{eqnarray*}$

Hier warst du doch schon so nahe dran. Es war nur noch das Vorzeichen zu korrigieren.

$\begin{eqnarray*} \int \frac{(-e^{-x}) \cdot (-e^{-x}) \cdot \dd x}{1+e^{-x}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -e^{-x} \cdot \dd x = \dd u \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u=1+e^{-x} \quad \Rightarrow \quad -e^{-x}=1-u \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \frac{(1-u) \cdot \dd u }{u} \end{eqnarray*}$

23.11.2011, 12:29

looser13

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Vielen Dank smile

smile

Eine Frage hätte ich noch, nämlich für die Zukunft:
Wenn ich einen Bruch habe und den Nenner substituiere, was passiert dann immer mit dem Zähler.
Wie hängt die Ableitung von u mit dem Zähler zusammen?
Als Beispiel hätte ich :
$\begin{eqnarray*} \int_0^{ln2} \! (\frac{e^{x} }{4-e^{x} } ) \, dx \end{eqnarray*}$
Ich lasse den Nenner substituieren und habe

$\begin{eqnarray*} du=-e^{x} *dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_2^3 \! (\frac{-1}{u} ) \, du \end{eqnarray*}$

Warum ist das bei diesem Beispiel ganz anders, d.h man musste mit dem Zähler nicht viel machen. Oder sollte man ihn auch umrechnen, also: u=4-e^x
e^x= 4-u ? Und das dann so einsetzen?

Ich habe das jetzt so wie oben geschrieben gemacht und komme auf das richtige Ergebnis...

23.11.2011, 12:41

Mulder

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Zitat:

Original von looser13
Wenn ich einen Bruch habe und den Nenner substituiere, was passiert dann immer mit dem Zähler.

Das ist eine Frage, auf die man unmöglich eine allgemeine Antwort geben kann. Jedes Integral ist anders. Ableiten ist immer der gleiche, sture Kram, das kann jeder. Aber beim Integrieren muss man eben hingucken und auch mal ein bisschen Probieren. Natürlich ist das auch Erfahrungssache, daher ist das Üben beim Integrieren so wichtig wie sonst fast nirgends. Man kann nicht perfekt integrieren, wenn man sich mal eben schnell zwei Beispiele anguckt. Weil man immer wieder auf etwas neues stößt.

Zitat:

Original von looser13
Warum ist das bei diesem Beispiel ganz anders, d.h man musste mit dem Zähler nicht viel machen

Weil es hier eben genau gepasst hat. Dieses Integral ist insofern *etwas* einfacher als das, das wir vorher betrachtet haben. Manchmal hebt sich alles komplett weg, manchmal eben nicht. Um zu sehen, ob eine Substitution klappt, ersetzt man immer erst einmal das dx. So mache ich es jedenfalls. Und dann guckt man mal, was übrig bleibt. Was dann übrig bleibt, kann man dann mit dem u "umrechnen", wie du es nennst. Vielleicht kommt ja was brauchbares raus. Und wenn nicht, probiert man halt was anderes.

Zitat:

Original von looser13
Oder sollte man ihn auch umrechnen, also: u=4-e^x
e^x= 4-u ?

So hätte man's gemacht, wenn nach dem Substituieren beispielsweise immer noch ein e^x im Zähler übrig geblieben wäre, so wie in unserem letzten Beispiel. Hier ist das aber doch unnötig, denn das einzige e^x, das im Zähler war, hat sich beim Substituieren des dx rausgekürzt.

23.11.2011, 12:45

looser13

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Ok, danke für deine ausführliche Antwort.
Ich habe schon gehofft, dass die meisten Sachen nach einem Muster gehen, aber leider ist das nicht der Fall.
Vielen Dank und schönen Tag noch

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