Real Imag und Betrag bestimmen ^n

21.11.2011, 12:07

Michaela689

Real Imag und Betrag bestimmen ^n

Sitze an einer Aufgabe:

Bestimme Betrag, Real- und Imainärteil von

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{1+i}{1-i} \right)^{n} \end{eqnarray*}$

Daraus habe ich gemacht:

$\begin{eqnarray*} \frac{(1+i)^n}{(1-i)^n} \end{eqnarray*}$

und
$\begin{eqnarray*} \frac{1^{n}+in+i^{n} }{1^n-in+i^n} \end{eqnarray*}$

wie komme ich jetzt weiter?

Ich würde mich riesig über eure Hilfe freuen.

21.11.2011, 12:10

klarsoweit

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RE: Real Imag und Betrag bestimmen ^n
Abgesehen davon, daß das falsch ist, weil du die binomische Formel nicht beachtest, würde ich mal den Ausdruck in der Klammer mit 1+i erweitern. smile

21.11.2011, 12:16

Michaela689

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wieso habe ich die binomische formel nicht beachtet?

21.11.2011, 12:19

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RE: Real Imag und Betrag bestimmen ^n
Schau sie dir genau an. Es ist $\begin{eqnarray*} (1+i)^n \neq 1^{n} + in + i^{n} \end{eqnarray*}$ .

21.11.2011, 12:44

Michaela689

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RE: Real Imag und Betrag bestimmen ^n
gibt es bei komplexen zahlen andere regeln? ich habe nichts gefunden.
ich weiß nur dass i^2 = -1 aber es ist ja ^n.

21.11.2011, 12:50

klarsoweit

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RE: Real Imag und Betrag bestimmen ^n
Bei den komplexen Zahlen gelten die gleichen Regeln wie im Reellen.
Ich weiß auch nicht, wie du rechnest. Vielleicht hast du eigene Regeln.

Demnach ist bei dir $\begin{eqnarray*} (1 + 2)^3 = 1^3 + 2 \cdot 3 + 2^3 = 1 + 6 + 8 = 15 \end{eqnarray*}$ ?

21.11.2011, 12:55

Michaela689

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ok, das was ich geschrieben habe gilt nur wenn n=2. aber wie schreibe ich das für n ?

21.11.2011, 13:03

Michaela689

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RE: Real Imag und Betrag bestimmen ^n
$\begin{eqnarray*} \frac{(1+i)^n}{(1-i)^n} * \frac{(1+i)}{(1+i)} \end{eqnarray*}$

wenn ich den bruch erweitere wie verechne ich das miteinander?

21.11.2011, 13:13

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RE: Real Imag und Betrag bestimmen ^n

Zitat:

Original von Michaela689
ok, das was ich geschrieben habe gilt nur wenn n=2. aber wie schreibe ich das für n ?

Dafür ist Google zuständig. smile

Und beim Erweitern meinte ich den Ausdruck innerhalb der Klammer von $\begin{eqnarray*} \left(\frac{1+i}{1-i} \right)^n \end{eqnarray*}$ .

21.11.2011, 14:33

Michaela689

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schonal vielen dank für deine Hilfe.

ich habe jetzt rausbekommen (-1/i)^n bzw. (-i)^-n.
ist das richtig? dann muss ich jetz wahrscheinich eine fallunterscheidung machen für n gerade/ungerade negativ/positiv?

21.11.2011, 14:50

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Zitat:

Original von Michaela689
ich habe jetzt rausbekommen (-1/i)^n bzw. (-i)^-n.
ist das richtig?

Komisch. Bei mir kommt i^n raus. OK, das ist das gleiche, aber manchmal frage ich mich doch, welche komplizierten Rechenwege da beschritten wurden.

Zitat:

Original von Michaela689
dann muss ich jetz wahrscheinich eine fallunterscheidung machen für n gerade/ungerade negativ/positiv?

Ich würde eher n = 4m + k mit k=0, 1, 2, 3 betrachten. Augenzwinkern

21.11.2011, 15:20

Michaela689

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$\begin{eqnarray*} (\frac{1+i}{1-i} * \frac{1-i}{1-i})^n = (\frac{1-i^2}{1-2i+i^2})^n = (\frac{1+1}{1-2i+(-1)})^n= (\frac{2}{-2i})^n = (\frac{1}{-i} )^n \end{eqnarray*}$

21.11.2011, 15:25

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Ach so, du hast mit 1-i erweitert, ich hatte aber von 1+i geredet.
Nun ja, ist letztlich Jacke wie Hose. Big Laugh