komplexe Menge

21.11.2011, 12:22

kololo24

komplexe Menge

Meine Frage:
hallo an alle,
ich habe hausaufgaben bekommen, bei denen ich einfach nicht weiterkomme.
vielleicht könntet ihr mir paar tipps nennen.

1. Skizzieren Sie die Menge $\begin{eqnarray*} \left\{ z\in C|Re(\frac{z-1}{z+1})\geq 1 \right\} \end{eqnarray*}$ in der komplexen Zahlenebene.

2. Welche Punktmengen in der Gauss?schen Zahlenebene werden durch
$\begin{eqnarray*} \left\{ z\in C|2= | z-1 | \right\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \left\{ z\in C|1>|z+1-2i| \right\} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
ich weiß, dass der betrag eines komplexen ausdrucks gleich der wurzel aus der summe des imaginär- und realteils ist. ich weiß aber nicht, wie ich das einbringen kann.
und zur ersten aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{x-1}{x+1} \cdot x\in R \Rightarrow \frac{1}{x+1} \Rightarrow x<-1 \end{eqnarray*}$
nun weiß ich aber nicht, wie ich den graphen zeichnen soll...

21.11.2011, 19:14

Cel

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Schau dir noch mal deine Lösung an, ich hab nämlich $\begin{eqnarray*} x \geq -1 \end{eqnarray*}$ raus, wo sollte sich bei der Rechnung das Zeichen umdrehen?

22.11.2011, 14:02

kololo24

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hallo Cel,

$\begin{eqnarray*} (x-1)/(x+1) >=1 \end{eqnarray*}$

mit x+1 erweitern:

$\begin{eqnarray*} ((x^2)-1)/((x+1)^2) >= 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ((x^2)-1) >= (x^2)+2x+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (-2x) >= 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x<= (-1) \end{eqnarray*}$

zu der anderen aufgabe:

$\begin{eqnarray*} 1 > |z-2i|=|x+yi-2i|=\sqrt{(x^2)+(y^2)-4y+4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 > (x^2)+(y^2)-4y+4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -3-(y^2)+4y > (x^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (-1)*((y^2)-4y+4)+3-4 > (x^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (-1)*((y-2)^2)-1 > (x^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(-1)*((y-2)^2)-1} > x \end{eqnarray*}$

22.11.2011, 14:47

original

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RE: komplexe Menge

Zitat:

Original von kololo24

1. Skizzieren Sie die Menge $\begin{eqnarray*} \left\{ z\in C|Re(\frac{z-1}{z+1})\geq 1 \right\} \end{eqnarray*}$
in der komplexen Zahlenebene.

z=x+iy

der REALTEIL von $\begin{eqnarray*} \frac{z-1}{z+1} \end{eqnarray*}$ ist NICHT $\begin{eqnarray*} \frac{x-1}{x+1} \end{eqnarray*}$ unglücklich

und - Cel : deine Lösung : " ich hab nämlich $\begin{eqnarray*} x \geq -1 \end{eqnarray*}$ raus,
solltest du vielleicht nochmal überprüfen..

zu
2. Welche Punktmengen in der Gauss?schen Zahlenebene werden durch
$\begin{eqnarray*} \left\{ z\in C|2= | z-1 | \right\} \end{eqnarray*}$

da kannst du das so lesen: gesucht sind alle Punkte z in C , die vom Punkt (1;0) genau zwei
Einheiten entfernt sind ..

Frage: gelingt es dir nun analog, diese Punktmenge zu "lesen"? ->
$\begin{eqnarray*} \left\{ z\in C|1>|z+1-2i| \right\} \end{eqnarray*}$

wenn ja, dann kannst du die entsprechende Ungleichung mit x und y gerade aufschreiben..

ok?

22.11.2011, 15:45

kololo24

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hallo,

meine rechnung liefert mir aber folgendes:
$\begin{eqnarray*} Re(\frac{z-1}{z+1})=Re(\frac{x+iy-1}{x+iy+1})=\frac{x-1}{x+1} \end{eqnarray*}$

zu 2.:

demnach muss doch das ergebnis {1,-3} sein, oder?

zur letzten aufgabe:

$\begin{eqnarray*} 1>|z+1-2i| \end{eqnarray*}$

gesucht sind alle Punkte z in C , die vom Punkt (-1;2) mindestens eine Einheit entfernt sind.

stimmt es?

wie soll ich denn nun die punktmenge hinschreiben?

22.11.2011, 16:34

original

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Zitat:

Original von kololo24

meine rechnung liefert mir aber folgendes:
$\begin{eqnarray*} Re(\frac{z-1}{z+1})=Re(\frac{x+iy-1}{x+iy+1})=\frac{x-1}{x+1} \end{eqnarray*}$ geschockt

man sieht ja deine "gelieferte rechnung" nicht ; .. dein Ergebnis
.. das ist aber leider gewaltig falsch

Zitat:

Original von kololo24

zu 2.:

demnach muss doch das ergebnis {1,-3} sein, oder?

... und wozu, bitte, soll das denn "das ergebnis" sein verwirrt

Zitat:

Original von kololo24
zur letzten aufgabe:

$\begin{eqnarray*} 1>|z+1-2i| \end{eqnarray*}$

gesucht sind alle Punkte z in C , die vom Punkt (-1;2) mindestens eine Einheit entfernt sind.

stimmt es? ... nein

wie soll ich denn nun die punktmenge hinschreiben?

... mit einer Ungleichunng natürlich:
wie kannst du das Innere des genannten Einheitskreises denn "aufschreiben"?

-

22.11.2011, 22:04

kololo24

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hallo,

bei $\begin{eqnarray*} \left\{ z\in C|2= | z-1 | \right\} \end{eqnarray*}$ habe ich herausgefunden, dass es sich um ein kreis mit dem radius 2 und dem mittelpunkt (1,0) handelt.

demzufolge für $\begin{eqnarray*} 1>|z+1-2i| \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} 1> (x+1)^2 + (y-2)^2 \end{eqnarray*}$

also liegt der mittelpunkt bei (-1;2). welche aussage kann ich nun über den radius treffen? dass er kleiner als eins ist oder dass der radius gleich eins ist aber der mittelpunkt ständig variiert (zB liegen alle mittelpunkte auf einer geraden??)?!

leider stehe ich bei der ersten aufgabe auf dem schlauch. was meinst du mit rechnung? ich hatte die rechnung doch hingeschrieben. könntest du mir noch ein tipp geben.

23.11.2011, 00:44

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Zitat:

Original von kololo24

demzufolge für $\begin{eqnarray*} 1>|z+1-2i| \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} 1> (x+1)^2 + (y-2)^2 \end{eqnarray*}$ .. Freude

also liegt der mittelpunkt bei (-1;2). welche aussage kann ich nun über den radius treffen?

der Radius des Kreises ist 1
zeichne diesen Kreis um dem Mittelpunkt (-1;2)
und male dann alle Punkte an, die im INNEREN dieses Kreises liegen:
Alle Punkte z auf dieser nun bunten Kreisfläche (ohne den Kreisrand) sind dann von (-1;2)
weniger als eine Einheit entfernt ..
klar?

Zitat:

Original von kololo24
leider stehe ich bei der ersten aufgabe auf dem schlauch.

$\begin{eqnarray*} Re(\frac{z-1}{z+1}) \end{eqnarray*}$ .. ist NICHT gleich .. $\begin{eqnarray*} \frac{RE(z-1)}{RE(z+1)} \end{eqnarray*}$

du musst zuerst den Bruch $\begin{eqnarray*} \frac{z-1}{z+1} = \frac{x-1+i}{x+1+i} \end{eqnarray*}$
in die Normalform a+bi bringen

das so gefundene a ist dann dein gesuchter Realteil

also:...

23.11.2011, 11:20

kololo24

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demzufolge ist es eine kreisfläche, stimmts?!

Der realteil ist dann:
$\begin{eqnarray*} ((x^2)-1+(y^2))/((x+2)^2)+(y^2)) \end{eqnarray*}$

nach umformung erhalte:

$\begin{eqnarray*} (-5)>=(x^2) \end{eqnarray*}$

inwiefern könnte ich nun die menge skizzieren?

23.11.2011, 12:02

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Zitat:

Original von kololo24
demzufolge ist es eine kreisfläche, stimmts?!

Der realteil ist dann:
$\begin{eqnarray*} ((x^2)-1+(y^2))/((x+2)^2)+(y^2)) \end{eqnarray*}$

wie kommst du hier auf die 2 bei (x+2)^2 im Nenner ?

nach umformung erhalte:

$\begin{eqnarray*} (-5)>=(x^2) \end{eqnarray*}$ unglücklich

...nicht nur -5, sondern vor allem auch das Quadrat beim x ist "daneben"

versuche bitte, dich besser zu konzentrieren..

23.11.2011, 12:08

Gast20

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Ich habe x <= 0 raus
ist das korrekt?

23.11.2011, 12:36

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Zitat:

Original von Gast20
Ich habe x <= 0 raus
ist das korrekt?

... NEIN

23.11.2011, 14:33

kololo24

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ok, nach der korrektur erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} Re(\frac{z-1}{z+1})= \frac{(x^2)+(y^2)-1}{(x^2)+2x+1+(y^2)} \end{eqnarray*}$

also bekommt man am ende

$\begin{eqnarray*} -1>=x \end{eqnarray*}$

heraus.

sooo, aber wie skizziere ich nun diese menge?

23.11.2011, 18:10

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Zitat:

Original von kololo24
am ende

$\begin{eqnarray*} -1>=x \end{eqnarray*}$

sooo, aber wie skizziere ich nun diese menge?

zeiche in der GaussEbene die Gerade x= -1 ein
(Tipp: das ist eine Parallele zur Imaginären Achse Wink

)

nimm dann ein Farbstift und male nun noch die Halbebene links von der Geraden x=-1 an..

damit hast du insgesamt alle Punkte z , die die ursprüngliche Ungleichung erfüllen,
farbig sichtbar gemacht..
.. fertig.

jetzt alles klar soweit?

23.11.2011, 22:06

kololo24

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danke sehr für deine hilfe.

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