Verzweigungspunkte bestimmen (Riemannsche Flächen) |
| 21.11.2011, 12:48 | Kurvenliebhaber | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Verzweigungspunkte bestimmen (Riemannsche Flächen) Finde das Geschlecht der Riemannschen Fläche gegeben durch . Dafür muss ich herausfinden, wieviele Verzweigungspunkte es gibt und welche Ordnung diese besitzen und anschließend die Riemann-Hurwitz-Formel benutzen. Verzweigungspunkte kann ich bisher nur für eine Fkt. mit Riemannscher Sphäre bestimmen. Doch wenn ich hier nach umstelle, wäre meine Funktion ja mehrdeutig. Daher komme ich hier nicht weiter. Es muss etwas mit einer eindeutigen Fortsetzung zu tun haben (darum geht es im Kapitel des Buches hauptsächlich), doch da kenne ich mich noch nicht aus ... Es würde mir helfen, wenn jmd den Algorithmus erklären kann, denn ich habe noch andere Aufgaben dazu, die ich gern lösen würde. |
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| 29.11.2011, 01:01 | phalanx | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die Gleichung w^8 = 1 - z^8 definiert dir eine 8-blättrige verzweigte Überlagerung X -> P^1. (P^1 = S^1 = C \cup {\infty}). (Lokal, ist dies einfach die Projektion (w,z) nach z) Die Verzweigungspunkte sind diejenigen z's mit 1 - z^8 = 0, d.h. einfach die achten-Einheitswurzeln. Davon gibt es 8 stück. Die Überlagerung ist vollverzweigt, d.h. der Verzweiungsindex (bzw. du nennst das Ordnung?), ist bei jedem Verzweigungspunkt gleich 8. Es liegt kein Verzweigungspunkt im Unendlichen vor (wieso?). Die Riemannsche Sphäre S^1 = C \cup {\infty} = P^1 hat Geschlecht 0. Jetzt solltest du alles haben, um die Riemann-Hurwitz-Formel anzuwenden. Welches Buch benutzt du? Im Forster gibt es zwei unterschiedliche Notationen ( v(f,p) und b(f,p)). Aufpassen also beim einsetzen in die Formel! |
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| 29.11.2011, 09:59 | Kurvenliebhaber | Auf diesen Beitrag antworten » |
Vielen Dank für die Antwort phalanx! Das hilft mir schonmal viel. Meine Vorlesung ist auf Englisch, daher kann es sein, dass es im deutschen Index heißt. Wir benutzen das Buch "Complex Functions" von Singerman. Wie hast du denn den Index bestimmt bzw. wusstest, dass es Vollverzweigt ist? Und warum ist unendlich kein Verzweigungspunkt? |
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| 29.11.2011, 12:00 | phalanx | Auf diesen Beitrag antworten » |
Der Verzweigungsindex (bzw. Ordnung) an Punkten die keine Verzweigungspunkte sind, ist halt immer gleich 1. Anschaulich ist der Verzweigungsindex immer "die Vielfachheit wie ein Wert" angenommen wird. Ist z ein Verzweigungspunkt, so gilt w^8 = 1 - z^8 = 0. D.h. es gibt nur eine Lösung w = 0. D.h. über dem Verzweigungspunkt liegt nur genau ein Wert, und dieser muss zwangsläufig die Ordnung 8 haben (das ist theoretisch gesichert, denn wenn g : X -> P^1 die 8-blättrige Überlagerung und v(g,p) die Ordnung bezeichnet, dann gilt für jeden Punkt q in C \cup {\infty} , dass 8 = \sum_{p \in g^{-1}(q)} v(g, p) - analog natürlich für jede d-blättrige Überlagerung, den Satz hattet ihr hoffentlich). Du musst dir "w" als mehrwertige Abbildung vorstellen, d.h. die einem z alle Lösungen von w^8 = 1 - z^8 zuordnet. Um zu sehen, dass Unendlich kein Verzweigungspunkt ist, musst du die Gleichung homogenisieren, w^8 = v^8 - z^8. Im P^1 entspricht dann 0 = [v : z] = [1 : 0] und \infty = [v : z] = [0 : 1]. Einsetzen von Unendlich (also [0 : 1]) in die Gleichung ergibt dann also w^8 = 0^8 - 1^8 = -1, d.h. es liegen 8 verschiedene Werte über Unendlich, also ist Unendlich kein Verzweigungspunkt. Es gibt übrigens einen Satz, dass wenn man eine Überlagerung in der Form w^m = (z - a_1)^{d_1} .... (z - a_k)^{d_k} gegeben hat, dass Unendlich genau dann KEIN Verzweigungspunkt ist, wenn \sum_k d_k die Zahl m teilt. In deinem Fall für w^8 = 1 - z^8 wäre m = 8 und und \sum_k d_k = 8, d.h. die Summe teilt m, und Unendlich ist kein Verzweigungspunkt. BTW. hatte ich mich in meiner ersten Antwort verschrieben, dort wo S^1 steht, soll natürlich S^2 stehen ^^. (S^1 ist der Kreis und S^2 ist natürlich die 2-Sphäre ^^). |
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