Bij(X,X) sei eine Gruppe |
| 21.11.2011, 13:03 | Wilmut | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Bij(X,X) sei eine Gruppe Folgende Aufgabe liegt vor mir: Für eine Menge X betrachtet man die Menge Bij(X,X) der bijektiven Selbstabbildungen. Man prüfe nach, dass Bij(X,X) unter der Komposition von Abbildungen eine Gruppe bildet und zeige, dass diese nicht kommutativ ist, sofern X mindestens 3 verschiedene Elemente besitzt. Meine Ideen: Die Aufgabe sagt einem ja eig, was man machen soll, doch ich kann mir unter all dem nichts vorstellen. Die Menge Bij(X,X) müsste doch eigentlich idX sein? Die Eigenschaften einer Gruppe sind: (i) die Verknüpfung ist assoziativ (ii) Es existiert ein neutrales Element (iii) Es existiert ein inverses Element Dann wäre hier die Komposition von Abbildungen die Verknüpfung? Also f(x) o f^-1(x), sodass man idX erhält. So macht die assoziativität auch sinn, aber wie zeigt man da das neutrales oder inverses Element? Stimmen die Ansätze so überhaupt? |
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| 21.11.2011, 13:22 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Es gibt weit mehr Bijektive Abbildungen von X nach X , als nur die Identität. Wähle etwa und betrachte , dann ist für alle mit die Funktion f Bijektiv. Das heißt, Bij(X,X) enthält mindestens diese f.
Im Prinzip ja, aber Du betrachtest eine Allgemeine Komposition , es muss nicht zwingend sein.
Man überlegt sich, wie einem die Eigenschaft Bijektiv hilft. Zudem hast Du mit IdX doch schon das neutrale Element bezüglich Komposition gefunden. Im ersten Schritt formulierst Du am besten exakt was Du hast, und was zu zeigen ist. |
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| 25.11.2011, 12:14 | Wilmut | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich glaube ich verstehe. Wäre dann -f^(-1)(x) das inverse? |
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