Ketten im Z^d, Abschätzung

21.11.2011, 14:04	Baii	Auf diesen Beitrag antworten »
Ketten im Z^d, Abschätzung Ich entschuldige mich schonmal für die nicht optimal gewählte Überschrift, mir ist keine andere eingefallen. Hier zum Problem: Betrachte $\begin{eqnarray} x_i \in \mathbb Z^d, i \in \mathbb N, \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (x_1,...,x_n) \end{eqnarray}$ heißt Kette der Länge n, wenn die $\begin{eqnarray} x_i \end{eqnarray}$ unterschiedlich sind und $\begin{eqnarray} \sum_i \|x_{i}-x_{i+1}\| =1 \end{eqnarray}$ , für $\begin{eqnarray} i=1,...,n-1. \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} \xi \subset \mathbb Z^d \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} E_k=\lbrace x\in Z^d \| \text{ die kürzeste Kette von x zu irgendeinem Punkt in $\xi$ hat die Länge $k$}\rbrace \end{eqnarray}$ . Wobei $\begin{eqnarray} k\geq 3 \end{eqnarray}$ vorausgesetzt ist. Jetzt wird die Abschätzung gemacht, die ich nicht verstehe: $\begin{eqnarray} \|E_k \|\leq \|\xi\| M_d k^{d-1} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} M_d \end{eqnarray}$ nur von d abhängt. Die Abschätzung gilt also dann für alle $\begin{eqnarray} k\geq 3. \end{eqnarray}$

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