Eigenvektor bestimmen

08.01.2007, 21:12

chris85

Eigenvektor bestimmen

Hallo zusammen.
Ich soll bei dieser Aufgabe den Eigenvektor bestimmen.

Matrix M= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \sqrt{6} \\ 0 & \sqrt{6} & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

(Man bezeichnet $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ als Eigenwert von M und den Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{x} \neq \vec{0} \end{eqnarray*}$ , der das homogene Gleichungssystem $\begin{eqnarray*} (M-\lambda 1) \vec{x} = \vec{0} \end{eqnarray*}$ löst , als Eigenvektor von M zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ . 1 ist Einheismatrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ )

Die Eigenwerte habe ich bereits bestimmt. Da habe ich 1,-1,4 als Ergebnis.

Die Eigentvektoren bekomme ich aber komischerweise nicht hin. kann mir da jemand helfen?
Wäre echt toll!
Danke

08.01.2007, 21:29

vektorraum

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RE: Eigenvektor bestimmen
Hi!

Deine Eigenwerte sind schonmal richtig Freude

Nun musst z.B. für den ersten Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda_1=1 \end{eqnarray*}$ den Ansatz machen

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1-1 & 0 & 0 \\ 0 & 1-1 & \sqrt{6} \\ 0 & \sqrt{6}& 2-1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{6} \\ 0 & \sqrt{6}& 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der Vektor mit den Einträgen $\begin{eqnarray*} a_1,a_2,a_3 \end{eqnarray*}$ ist der gesuchte Eigenvektor $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ . Nun heißt es ein lineares Gleichungssystem zu lösen in den Variabeln $\begin{eqnarray*} a_1,a_2,a_3 \end{eqnarray*}$ . Erste Zeile Nullzeile, d.h. du kannst schon mal einen frei wählen.
Dann weiter...
Analog für die anderen!

08.01.2007, 21:31

Mazze

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Zitat:

Ich soll bei dieser Aufgabe den Eigenvektor bestimmen.

Zunächst gibt es nicht "den" Eigenvektor, zu einem Eigenwert gibt es im Allgemeinen unendlich viele Eigenvektoren. Du bist jedoch an der maximal linear unabhängigen Lösung interessiert, die, da Du 3 paarweise verschiedene Eigenwerte hast aus 3 Vektoren besteht. Ein Eigenvektor hat die Eigenschaft das:

$\begin{eqnarray*} Ax = \lambda x \end{eqnarray*}$

oder äquivalent

$\begin{eqnarray*} (A - \lambda I)x = 0 \end{eqnarray*}$

Das heißt Du musst für Deine drei Eigenvektoren jeweils dieses GLS lösen.

08.01.2007, 22:03

chris85

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Also soweit bin ich auch gekommen:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1-1 & 0 & 0 \\ 0 & 1-1 & \sqrt{6} \\ 0 & \sqrt{6}& 2-1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{6} \\ 0 & \sqrt{6}& 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich habe dann jetzt für $\begin{eqnarray*} a_1=1 \end{eqnarray*}$ gewählt da die erste Zeile ja eine Nullzeile ist.

Dann hänge ich aber auch schon.

So steht es jetzt bei mir da:

$\begin{eqnarray*} 0a_1+0a_2+0a_3=0 \\0a_1+0a_2+ \sqrt{6}a_3=0 \\0a_1+ \sqrt{6}a_2+a_3=0 \end{eqnarray*}$

Was soll ich jetzt machen?Wie geht es weiter?

08.01.2007, 22:37

chris85

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Wenn das stimmt was ich da stehen habe dann wäre doch der Eigenvektor (1,0,0) aber das kann ja eigentlich nicht stimmen. Kann mir irgendjemand weiterhelfen? Ich steh irgendwie voll auf dem Schlauch!

09.01.2007, 09:12

klarsoweit

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Zitat:

Original von chris85
Wenn das stimmt was ich da stehen habe dann wäre doch der Eigenvektor (1,0,0) aber das kann ja eigentlich nicht stimmen.

Wieso nicht? verwirrt

Wie man leicht sieht, ist

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \sqrt{6} \\ 0 & \sqrt{6} & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und noch einmal: es gibt nicht den Eigenvektor, sondern beliebig viele Eigenvektoren, aus denen man in diesem Fall 3 linear unabhängige finden kann. Augenzwinkern

09.01.2007, 16:26

chris85

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Ja gut aber hat dieser Vektor ja unendlich viele Lösungen da die erste Zeile eine Nullzeile ist, kann ich ja jeden beliebigen Wert für $\begin{eqnarray*} x_1, x_2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ wählen.
Hab ich das richtig verstanden?

Für den anderen Fall $\begin{eqnarray*} \lambda = 4 \end{eqnarray*}$

Da weiß ich nicht genau wie ich weitermachen muss.

So sieht es bei mir gerade aus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}x_1+0+0=4x_1 \\ 0+x_2+\sqrt{6}x_3=4x_2 \\ 0+\sqrt{6}x_2+2x_3=4x_3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-3x_1=0 \\ -3x_2+\sqrt{6}x_3=0 \\ \sqrt{6}x_2-2x_3=0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Naja und jetzt weiß ich nicht weiter.
Kann mir jemand helfen? Hilfe

09.01.2007, 20:48

chris85

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Kann mir denn niemand helfen? Bitteeee, ich krieg gerade echt die Krise!!! traurig

09.01.2007, 21:56

vektorraum

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Hi Chris!

Bitte keine Pushposts - aber ich bin nicht eher zum antworten gekommen. Kann nicht so ganz nachvollziehen, wo deine gleichung herkommt. Um den Eigenvektor zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda=4 \end{eqnarray*}$ zu bestimmen, machst du wieder den Ansatz

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -3 & 0 & 0 \\ 0& -3 & \sqrt{6} \\ 0 & \sqrt{6} & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und nun wieder: Einfach lineare Algebra-Kenntnisse anwenden und auch dieses lineare Gleichungssystem lösen!
Zur Kontrolle kannst du ja immer deinen Eigenvektor einsetzen, und wenn dieser multipliziert mit deiner Matrix

$\begin{eqnarray*} (A-\lambda \operatorname{id}) \end{eqnarray*}$

die Null erggibt, ist er auch Eigenvektor Wink

09.01.2007, 22:17

chris85

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Hmm okay, soweit wie du bin ich ja auch gekommen.
Nur beim auflösen habe ich jetzt hier meine Probleme.
Dass $\begin{eqnarray*} a_1 = 0 \end{eqnarray*}$ ist ist offensichtlich, doch für $\begin{eqnarray*} a_2,a_3 \end{eqnarray*}$
blick ich nicht ganz wie ich au den richtigen Wert komme.
Das einzige das ich hieraus ablesen kann ist dass $\begin{eqnarray*} 2x_3= \sqrt{6} x_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 3 x_2 = \sqrt{6} x_3 \end{eqnarray*}$ ist.
Aber was sind dann meine Werte für den Eigenvektor?
Das verstehe ich nicht. Kannst du mir das zeigen?

09.01.2007, 23:38

Bjoern1982

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} 2x_3= \sqrt{6} x_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 3 x_2 = \sqrt{6} x_3 \end{eqnarray*}$

Na dann löse doch mal die erste Gleichung nach $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ auf und setze dies dann in die zweite Gleichung ein.

Dadurch kannst du dann a1, a2 und a3 in Abhängigkeit von a2 ausdrücken, was dir letztendlich einen Eigenvektor liefert.

Gruß Björn

09.01.2007, 23:54

chris85

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Das sieht doch dann so aus:

$\begin{eqnarray*} -3x_1+\sqrt{6}x_2-2x_3=0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \rightarrow \ \ -2x_3= 3x_1- \sqrt{6} x_2 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \rightarrow \ \ x_3= -1,5a_1+ \frac{\sqrt{6}} {2} x_2 \end{eqnarray*}$

Stimmt das soweit?
Aber wie dann in die zweite Gleichung einsetzen? Habs versucht aber bekomm da nichts gescheites raus.

Kannst du mir das schnell zeigen?

10.01.2007, 00:49

Bjoern1982

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Du solltest doch nur die erste Gleichung nach x3 auflösen....also $\begin{eqnarray*} x_3=\frac{\sqrt{6}}{2}x_2 \end{eqnarray*}$

Das jetzt in $\begin{eqnarray*} 3 x_2 = \sqrt{6} x_3 \end{eqnarray*}$ einsetzen....es entsteht eine wahre Aussage.

Nun hast du

x1=0

x2=x2

$\begin{eqnarray*} x_3=\frac{\sqrt{6}}{2}x_2 \end{eqnarray*}$

Als Vektor -----> $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=k \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \frac{\sqrt{6}}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

für k=2 ergibt sich dieser Eigenvektor ----> $\begin{eqnarray*} \vec{v_1}= \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ \sqrt{6} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe das hilft dir weiter.

Gruß Björn

10.01.2007, 01:47

chris85

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Super!!!
Vielen Dank! Jetzt hab ich es geblickt Freude

10.01.2007, 08:58

klarsoweit

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Zitat:

Original von chris85
Ja gut aber hat dieser Vektor ja unendlich viele Lösungen da die erste Zeile eine Nullzeile ist, kann ich ja jeden beliebigen Wert für $\begin{eqnarray*} x_1, x_2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ wählen.
Hab ich das richtig verstanden?

Anscheinend hast du das wohl jetzt verstanden. Trotzdem nochmal eine Klarstellung:
Zum einen hat nicht ein Vektor unendlich viele Lösungen, sondern allenfalls das betrachtete Gleichungssystem. Bei einem Eigenwertproblem ist dies völlig normal.

Zum anderen - und da wiederhole ich mich - gibt es zu einem Eigenwert nicht den Eigenvektor, sondern beliebig viele Eigenvektoren. Diese bilden einen Eigenraum, zu der man eine geeignete Basis bestimmen kann.

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