lim(ntewurzel(a_n))=a

21.11.2011, 16:17

Harkward

lim(a_(n+1)/a_n)=a => lim(ntewurzel(a_n))=a

Meine Frage:
Es sei $\begin{eqnarray*} \{a_n\}_{n\in{\mathbb{N}}} \end{eqnarray*}$ eine Folge positiver Zahlen.
Zeigen sie:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}\;=\;a\;\;\;a\in{\mathbb{R}} \end{eqnarray*}$ impliziert $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{a_n}\;=\;a \end{eqnarray*}$
Vorausgesetzt werden darf $\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{n}\;=\;1 \end{eqnarray*}$ , falls das nötig ist.

Meine Ideen:
Ich habe ja stark die Vermutung, dass das mit dem Sandwich-Lemma zu beweisen geht, allerdings tue ich mich zienmlich schwer damit, da entsprechende Folgen zu finden, da $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ja eine beliebige Folge ist. Es wäre super, wenn ihr mal einen kleinen Anstups geben könntet, ob und wenn ja wie das funktionieren könnte. Sollte es nicht mit dem Sandwich-Lemma gehen, fänd ich einen Denkanstoß zu Alternativen auch sehr freundlich smile

MfG
Harkward

P.S.: Ich hab nicht wirklich Ahnung von Latex, also fallt nicht gleich über mich her, wenn das nicht so schön aussieht, wie es vlt. könnte.

21.11.2011, 17:16

René Gruber

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Zitat:

Original von Harkward (korrigiert)
Zeigen sie:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}\;=\;a\;\;\;a\in{\mathbb{R}} \end{eqnarray*}$ impliziert $\begin{eqnarray*} {\color{red} \lim_{n\to\infty}}\sqrt[n]{a_n}\;=\;a \end{eqnarray*}$

21.11.2011, 18:10

Harkward

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Oh, da ist mir ja tatsächlich ein Limes abhanden gekommen .
Dank dir Gott

22.11.2011, 08:24

René Gruber

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Na wenn da mal nicht ein gewisser Sarkasmus in der Stimme liegt... Teufel

Du kannst ja erstmal nutzen, dass aus $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = a \end{eqnarray*}$ folgt, dass es für alle $\begin{eqnarray*} 0<\varepsilon<a \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ gibt, so dass

$\begin{eqnarray*} a-\varepsilon < \frac{a_{n+1}}{a_n} < a+\varepsilon \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ gilt. Das impliziert schon mal

$\begin{eqnarray*} (a-\varepsilon)^{n-n_0} < \frac{a_{n}}{a_{n_0}} < (a+\varepsilon)^{n-n_0} \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} n>n_0 \end{eqnarray*}$ . Etwas umgeformt ist das praktisch schon das Sandwich, was du suchst.

EDIT: Was ich aufgeschrieben habe, betrifft den Fall $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ . Im (Sonder-)fall $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ läuft es rechts genauso, nur links setzt man Schranke 0 statt $\begin{eqnarray*} a-\varepsilon \end{eqnarray*}$ .

22.11.2011, 12:09

Harkward

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Zitat:

Das impliziert schon mal $\begin{eqnarray*} (a-\varepsilon)^{n-n_0} < \frac{a_{n}}{a_{n_0}} < (a+\varepsilon)^{n-n_0} \end{eqnarray*}$

Das versteh ich jetzt nicht ganz. Also für $\begin{eqnarray*} n=1+n_0 \end{eqnarray*}$ ist das klar, aber wieso für alle $\begin{eqnarray*} n>n_0 \end{eqnarray*}$ ?

Wenn ich das jetzt erstmal so nehme und umforme komm ich auf:
$\begin{eqnarray*} (a-\varepsilon)^{1-\frac{n_0}{n}} \cdot \sqrt[n]{a_n_0} \le \sqrt[n]{a_n} \le (a+\varepsilon)^{1-frac{n_0}{n}} \cdot \sqrt[n]{a_{n_0}} \end{eqnarray*}$ .
Wenn ich jetzt davon die Grenzen für $\begin{eqnarray*} n \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ betrachte krieg ich $\begin{eqnarray*} a-\varepsilon \le \lim{n\rightarrow\infty} sqrt[n]{a_n}\le a+\varepsilon \end{eqnarray*}$ . Darf ich jetzt einfach sagen, weil $\begin{eqnarray*} \varepsilon\rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} a\;=\;\lim{n\rightarrow\infty} sqrt[n]{a_n}[latex]?<br /> <br /> Und noch ganz andere Frage, wie soll das für [latex]a=\nfty \end{eqnarray*}$ funktionieren, denn dann kann ich ja das Epsilon-Krieterium nicht mehr nutzen, denn $\begin{eqnarray*} \infty\le \frac{a_{n+1}}{a_n}\le\infty \end{eqnarray*}$ ergibt ja wohl keinen Sinn verwirrt

Trotzdem auf jeden Fall schon mal vielen dank bis hierhin smile

MfG
Harward

22.11.2011, 12:14

Harkward

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Zitat:

Das impliziert schon mal $\begin{eqnarray*} (a-\varepsilon)^{n-n_0} < \frac{a_{n}}{a_{n_0}} < (a+\varepsilon)^{n-n_0} \end{eqnarray*}$

Das versteh ich jetzt nicht ganz. Also für $\begin{eqnarray*} n=1+n_0 \end{eqnarray*}$ ist das klar, aber wieso für alle $\begin{eqnarray*} n>n_0 \end{eqnarray*}$ ?

Wenn ich das jetzt erstmal so nehme und umforme komm ich auf:
$\begin{eqnarray*} (a-\varepsilon)^{1-\frac{n_0}{n}} \cdot \sqrt[n]{a_{n_0}} \le \sqrt[n]{a_n} \le (a+\varepsilon)^{1-\frac{n_0}{n}} \cdot \sqrt[n]{a_{n_0}} \end{eqnarray*}$ .
Wenn ich jetzt davon die Grenzen für $\begin{eqnarray*} n \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ betrachte krieg ich $\begin{eqnarray*} a-\varepsilon \le \lim{n\rightarrow\infty} sqrt[n]{a_n}\le a+\varepsilon \end{eqnarray*}$ . Darf ich jetzt einfach sagen, weil $\begin{eqnarray*} \varepsilon\rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} a\;=\;\lim{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{a_n} \end{eqnarray*}$ ?

Und noch ganz andere Frage, wie soll das für $\begin{eqnarray*} a=\infty \end{eqnarray*}$ funktionieren, denn dann kann ich ja das Epsilon-Krieterium nicht mehr nutzen, denn $\begin{eqnarray*} \infty\le \frac{a_{n+1}}{a_n}\le\infty \end{eqnarray*}$ ergibt ja wohl keinen Sinn verwirrt

Trotzdem auf jeden Fall schon mal vielen dank bis hierhin smile

MfG
Harward

Sry, war versehentlich auf Absenden statt Vorschau gekommen Hammer

22.11.2011, 12:53

René Gruber

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Zitat:

Original von Harkward

Zitat:

Das impliziert schon mal $\begin{eqnarray*} (a-\varepsilon)^{n-n_0} < \frac{a_{n}}{a_{n_0}} < (a+\varepsilon)^{n-n_0} \end{eqnarray*}$

Das versteh ich jetzt nicht ganz. Also für $\begin{eqnarray*} n=1+n_0 \end{eqnarray*}$ ist das klar, aber wieso für alle $\begin{eqnarray*} n>n_0 \end{eqnarray*}$ ?

Es ist

$\begin{eqnarray*} \frac{a_n}{a_{n_0}} = \underbrace{\frac{a_{n_0+1}}{a_{n_0}} \cdot \frac{a_{n_0+2}}{a_{n_0+1}} \cdot \ldots \cdot \frac{a_{n}}{a_{n-1}}}_{\mbox{genau $(n-n_0)$ Faktoren}} \end{eqnarray*}$ .

Klar jetzt?

Zitat:

Original von Harkward
Und noch ganz andere Frage, wie soll das für $\begin{eqnarray*} a=\infty \end{eqnarray*}$ funktionieren,

Im Aufgabentext steht klar und deutlich $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ gehört nicht zu $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . unglücklich

22.11.2011, 14:15

Harkward

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Zitat:

Klar jetzt?

Ja.

Zitat:

Im Aufgabentext steht klar und deutlich $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ gehört nicht zu $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . unglücklich

Ja, das weiß ich, bloß die Aufgabe hat nen Teil b) ... .
Ich hatte gehofft den Beweis zu a) verallgemeinern zu können, aber das sieht ja eher schlecht aus...

22.11.2011, 14:38

René Gruber

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Es geht schon, ich hatte es nur als unnötig für die Original-Aufgabenstellung erachtet:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \infty \end{eqnarray*}$ bedeutet, dass es für alle $\begin{eqnarray*} K>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n}>K \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ gilt.

Der Rest läuft wie gehabt.

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lim(a_(n+1)/a_n)=a => lim(ntewurzel(a_n))=a

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