det(AB)=0 wen, ...

21.11.2011, 16:32	OrangeneMusik	Auf diesen Beitrag antworten »
det(AB)=0 wen, ... Meine Frage: Seien m>n, A eine mxn Matrix und B eine nxm Matrix. Zu zeigen: det(AB)=0 Meine Ideen: es gilt ja det(AB)=detAdetB und durch Vorraussetzung folgt dann detAdetB=0 Dies stimmt, wenn detA oder detB =0 sind aber wie kann ich das dann beweisen, dass das immer dann ist, wenn m>n, A eine mxn Matrix und B eine nxm Matrix ist??
21.11.2011, 16:34	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Überlege dir zunächst mal, dass die Ausdrücke det(A) und det(B) gar keinen Sinn machen. Viel mehr hilft dir hier eine Aussage über den Rang bei der Matrixmultiplikation. Oder noch viel einfacher: Ist die Verkettung zweier Abb. injektiv, so auch die innere Abbildung.
21.11.2011, 17:54	OrangeneMusik	Auf diesen Beitrag antworten »
wir haben das mit den rängen aber noch nicht durchgenommen... also würde reichen, dass ich als beweis schreibe:da die Verkettungen von detA mit detB injektiv sind ist auch die det(AB) injektiv.Deshalb stimmt die Behauptung. Warum macht detA und detB keinen Sinn?
05.01.2012, 09:17	OrangeneMusik	Auf diesen Beitrag antworten »
Lösung in Übung: det(AB)=0, wenn... Also wir haben in der Übung folgende Lösung erarbeitet: Vorraussetzung: $\begin{eqnarray} A\in M(mxn, \mathbb R ), B\in M(nxm, \mathbb R ), m>n \end{eqnarray}$ Behauptung: det(AB)=0 Beweis: $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} a_{1,1} & ... & a_{1,n} \\ ... & ... & ... \\ a_{n,1} & ... & a_{n,m}\\ ... & ... & ... \\ a_{m,1} & ... & a_{m,n} \end{pmatrix} , B=\begin{pmatrix} a_{1,1} & ... & b_{1,n} & ... & b_{1,m}\\ ... & ... & ... & ... & ...\\ b_{n,1} & ... & ... & ...& b_{n,m}\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} °A°=\begin{pmatrix} & & * \\ & ... & \\ & & * \\ 0 & ... & 0 \\ ... & & ... \\ 0 & ... & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wobei der 0-Bereicht: m-n>0 $\begin{eqnarray} M_{t}^{-1} \times ...\times M_{1}^{-1}\times A =: °A°\in M(mxn, \mathbb R) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} M_{i} \in M_{m}(\mathbb R ), i=1,...t \end{eqnarray}$ wobei dies Elementarmatrizen sind $\begin{eqnarray} °A°\times B=\begin{pmatrix} * & ... & * \\ ... & ... & ... \\ ... & * & ... \\ ... & ... & ... \\ * & ... & * \\ 0 & ... & 0 \\ ... & & ... \\ 0 & ... & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ (die sind auf einer Diagonalen) $\begin{eqnarray} \Rightarrow det(°A°B)=0 \end{eqnarray}$ , welches quadratisch ist. $\begin{eqnarray} \Rightarrow det(A B)=det(M_{1}\times ...\times M_{t} \times °A°\times B) <br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =det(M_{1}\times ...\times M_{t})\times det(°A°B)<br /> =0 \end{eqnarray}$ Und das ist das Ende unseres Beweises. (°A° soll A-Schlange sein, ich kann das aber nicht hier am PC schreiben, vielleicht ist es aber als A-Schlange geläufiger...) MfG
05.01.2012, 10:43	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Oder so: Es ist $\begin{eqnarray} \operatorname{Kern}(AB) \supseteq \operatorname{Kern}(B) \end{eqnarray}$ , denn, was von B schon auf 0 geschickt wird, wird von AB sowieso auf 0 geschickt. Nach der Dimensionsformel ist aber $\begin{eqnarray} \dim \operatorname{Kern}(B) \geq m-n > 0 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \dim \operatorname{Kern}(AB) > 0 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \det (AB) = 0 \end{eqnarray}$ Solche "Da muss man irgendwie durch"-Beweise mit eingebauter Indexschlacht versuche ich wenn möglich zu vermeiden, das spart viel Arbeit und Nerven
05.01.2012, 11:06	OrangeneMusik	Auf diesen Beitrag antworten »
Du ahst absolut Recht (: Der Weg geht schneller! !! Aber zu dem Zeitpunkt hatten wir Kern und Rang und das alles noch nciht...
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