rekursive Folge auf Konvergenz prüfen

21.11.2011, 18:22

alex2007

rekursive Folge auf Konvergenz prüfen

Ich soll die Folge $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c>0 \end{eqnarray*}$ auf Konvergenz prüfen und den Grenzwert gegebenenfalls bestimmen.

$\begin{eqnarray*} a_1=\sqrt{c},\,\,\,\,a_2=\sqrt{c+\sqrt{c}},\,\,\,\,a_3=\sqrt{c+\sqrt{c+\sqrt{c}}},\,\,\, usw. \end{eqnarray*}$

also rekrusiv: $\begin{eqnarray*} a_{n+1}=\sqrt {c+a_n} ,\,\,\, a_1=\sqrt{c} \end{eqnarray*}$

Konvergenz:

Also Ich bin mir sicher, dass ich hier mittels Monotonie und Beschrämktheit auf die Konvergenz komme. Problem ist, dass man anhand der Glieder a1, a2 und a3 auf Grund dessen, das c>0 eindeutig sieht, dass die Folge monoton steigend ist. Aber wie zeige ich das?

Wenn ich folgendes mache:

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=\sqrt{c+a_n} \geq a_n \end{eqnarray*}$ (monoton steigend)

weis ich nicht, wie ich nun zeige, dass das stimmt! Beschränktheit sieht es ähnlich aus. Wie zeige ich, dass die Folge beschränkt ist?

Wäre für Hilfe sehr dankbar. smile

22.11.2011, 00:31

alex2007

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RE: rekursive Folge auf Konvergenz prüfen
Bitte, ich brauch echt nen Hinweis, wie ich hier weiter vorgehe und wäre euch echt dankbar.

22.11.2011, 02:35

alex2007

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RE: rekursive Folge auf Konvergenz prüfen
Fangen wir mal mit der Bestimmung des Grenzwertes an.

Ich nehme einfach mal an, dass die Folge konvergiert.
Dann ist der Unterschied zwischen a_n und a_(n+1) verschwindend gering und der Grenzwert ist für n gegen undendlich für beide Folgen gleich, sodass dies auf folgende Formel führt:

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=a_n=a \Rightarrow a= \sqrt {c+a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow a²= c + a \Rightarrow 0= a²-a-c \Rightarrow a_{1/2}= \frac {1}{2} \pm \sqrt{\frac {1}{4}+c} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow a_{1/2}= \frac {1}{2} \pm \frac{\sqrt{1+4c}}{2} \end{eqnarray*}$

Lösung mit "minus" entfällt, da es Lösungen für a geben könnte, welche negativ wären (für hinreichend große c). a muss aber positiv sein.

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow a= \frac{1+\sqrt{1+4c}}{2} \end{eqnarray*}$

Stimmt diese Bestimmung des Grenzwertes?
Wenn ja, wie bestimme ich denn nun mathematisch korrekt die Monotonie, sowie die Beschränktheit. Ansätze sind mir klar (siehe erster Post), aber wie gehe ich weiter vor. Für Beschränktheit muss ich ja zeigen, dass die Folge kleiner oder gleich einer Schranke S ist. Hier geht es mir ähnlich wie bei der Monotonie.

22.11.2011, 03:05

Mir_ist_langweilig

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Zufällig im gleichen Kurs wie /threadid=474426 ? ^_^

Ich würds mal so probieren:

Monotonie: Nicht so sehr mit der Rekursionsformel arbeiten. Schau nochmal auf die ersten drei Glieder, und worin sie sich (neben dem was die Rekursionsformel zum Ausdruck bringt) unterscheiden. Tipp: An der immer gleichen Stelle kommt mit jedem Indexanstieg etwas dazu.

Beschränktheit: Vollständige Induktion zusammen mit der Rekusionsformel. Nach dem, was bisher schon getan hast, welche Schranke könnte sich hier anbieten?

22.11.2011, 03:26

alex2007

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Das meinte ich ja, dass die Folge monoton ansteigt sehe ich ja deutlich, da c>0 und Wurzel (c) ebenfalls >0 muss mit jedem term a_n immer größer werden, da letztendlich einfach etwas positives dazu gezählt wird. Beschränktheit sieht man ja auch. Einfach weil dass was dazu gezählt wird immer kleiner wird. Da es sich ja zuerst um eine quadratwurzel handelt und die potenz immerwieder mit 1/2 multipliziert wird. also ^1/4, ^1/8 und so weiter.

Aber wie mache ich das ganze mathematisch formal? Als Schranke würde sich natürlich mein Grenzwert anbieten. Also nehme ich einfach diesen und zeige, dass die Rekursionsformel kleiner/gleich dieser wert oder was? Und wie schriebe ich mathematisch formal auf, dass die Folge immer weiter wächst, ohne die Rekursionsformel zu verwenden, wie du sagst?

Wie meinst du das mit der Vollständigen Induktion zusammen mit der Rekursionsformel? Also ich weis, was vollständige Induktion ist, aber nicht, wie ich damit Beschränktheit zeige. Oder meinst du wenn a(n+1) <= S, dann ist auch a(n+2)<=S und S ist dann die Schranke? Aber selbst wenn ich das versuche, komm ich nicht wirklich kalr. Würde hier gerne mal sehen, wie das gemeint ist. Danke

22.11.2011, 05:12

bunga bunga

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RE: rekursive Folge auf Konvergenz prüfen

Zitat:

Davon habe ich kein Wort verstanden. ^________^

Zitat:

Und wie schriebe ich mathematisch formal auf, dass die Folge immer weiter wächst, ohne die Rekursionsformel zu verwenden, wie du sagst?

Wie wäre zum Beispiel
$\begin{eqnarray*} a_n=\sqrt{c+\ldots \sqrt{c+\sqrt{c+0}}} < \sqrt{c+\ldots \sqrt{c+\sqrt{c+\sqrt{c}}}}=a_{n+1} \end{eqnarray*}$

was in dem Kontext völlig unmissverständlich ist. Der springende Punkt ist das zusäzliche sqrt(c) unter der letzten Wurzel.

Zitat:

Beschränktheit sieht man ja auch. Einfach weil dass was dazu gezählt wird immer kleiner wird.

Ui ui, das solltest du nicht zu laut sagen. Beim Standardbeispiel $\begin{eqnarray*} 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots \end{eqnarray*}$ wird auch was "dazu gezählt was immer kleiner wird". Trotzdem wächst das über alle Grenzen. Ich für meinen Teil sehe die Beschränktheit deiner Folge nicht unmittelbar ein.

Zitat:

Oder meinst du wenn a(n+1) <= S, dann ist auch a(n+2)<=S und S ist dann die Schranke?

Hatte es mir eher mit a_n und a_n+1 gedacht, aber vom Prinzip her war das meine Vorstellung, jo.

Zitat:

Aber selbst wenn ich das versuche, komm ich nicht wirklich kalr

Dann zeigt mal deine Versuche.

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