Reihe auf Konvergenz überprüfen

21.11.2011, 18:33

Antoras

Reihe auf Konvergenz überprüfen

Hallo,

ich hänge gerade dabei Term so aufzulösen, damit ich sie auf Konvergenz überprüfen kann.

Bei einem Term bin ich glaube ich schon fertig:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty\frac{2^{k-1}+1}{2^k}=\sum_{k=1}^\infty 2^{-1}+\frac{1}{2^k}=\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{2}+\frac{1}{2^k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^k} \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen null, die Reihe divergiert also, da in jedem Schritt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ aufsummiert wird. Kann man das formal noch schöner aufschreiben bzw. ist es überhaupt richtig?

Beim 2. Term hab ich mehr Probleme:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2+3k+2}=\sum_{k=1}^\infty\frac{\frac{1}{2}}{k^2+3k} \end{eqnarray*}$

Es ist klar, dass die Folge gegen 0 konvergiert, die Reihe konvergiert aber gegen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ . Nur wie zeige ich das jetzt? Ich müsste ja irgendwie erreichen, dass am Schluss $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ stehen bleibt und der Rest (also die Reihe) gegen 0 konvergiert. Kann mir da jemand einen Tipp geben?

21.11.2011, 18:39

Mulder

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RE: Reihe auf Konvergenz überprüfen

Zitat:

Original von Antoras
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^k} \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen null, die Reihe divergiert also, da in jedem Schritt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ aufsummiert wird. Kann man das formal noch schöner aufschreiben bzw. ist es überhaupt richtig?

Das ist soweit in Ordnung.

Bei der zweiten versuch mal Partialbruchzerlegung, wenn du den Reihenwert ausrechnen willst. Das wird eine klassische Teleskopsumme.

21.11.2011, 19:51

Antoras

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Ok, von der Vorgehensweise hab ich noch nie was gehört. Nach ein wenig Wikipedia bin ich auf das hier gekommen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{k^3+3k+2}=\frac{\frac{1}{2}}{k^3+3k}=\frac{k^3+\frac{1}{2}-k^3}{k^3+3k}=\frac{k^3+\frac{1}{2}}{k^3+3k}-\frac{k^3}{k^3+3k}=\frac{\frac{1}{2}}{3k}-\frac{1}{3k}=\frac{\frac{1}{2}}{3k}-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}k} \end{eqnarray*}$

Wenn ich das dann allerdings versuche über die Teleskopsumme zu vereinfachen, dann bekomme ich kein vernünftiges Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{\frac{1}{2}}{3}-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}}\right)+\left(\frac{\frac{1}{2}}{6}+\frac{\frac{1}{2}}{3}\right)\ldots \end{eqnarray*}$

Wo liegt der Fehler?

21.11.2011, 20:02

Mulder

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Zitat:

Original von Antoras
Wo liegt der Fehler?

Der liegt darin, dass du in der 6. Klasse nicht aufgepasst hast, oder wo auch immer man die elementaren Bruchrechenregeln lernt (meine ich jetzt nicht abwertend, aber das sind Defizite, die wirklich schnell behoben werden müssen). Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{a+b} \neq \frac{1}{b} \end{eqnarray*}$

Und das ist nicht dein einziger Fehler. Diese ganze Zeile...

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{k^3+3k+2}=\frac{\frac{1}{2}}{k^3+3k}=\frac{k^3+\frac{1}{2}-k^3}{k^3+3k}=\frac{k^3+\frac{1}{2}}{k^3+3k}-\frac{k^3}{k^3+3k}=\frac{\frac{1}{2}}{3k}-\frac{1}{3k}=\frac{\frac{1}{2}}{3k}-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}k} \end{eqnarray*}$

... ist wirklich ziemlich grausam und hat mit Partialbruchzerlegung nun wirklich nichts zu tun. Schon seltsam, dass du es mit Hochschulmathematik zu tun hast, aber von Partialbruchzerlegung noch nie etwas gehört haben willst. Denn auch das lernt man eigentlich in der Schule schon.

PS: Wieso steht nun eigentlich plötzlich k³ im Nenner? Vorhin war es noch k². Was denn nun?

Na, jedenfalls wirst du dich da dann wohl erst einmal einarbeiten müssen. Die Partialbruchzerlegung über ein Forum komplett zu vermitteln, wäre für uns beide viel zu langwierig. Wir haben dazu hier im Forum einen Workshop, vielleicht hilft der dir ja auch weiter. Vor allem sollte man sich dann mal ein paar Beispielrechnungen ansehen, damit man überhaupt einen Überblick gewinnt, worum es geht. Konkretere Fragen kannst du dann natürlich gerne stellen, aber bitte nicht "Wie geht das?". Da wären wir nächste Woche noch nicht fertig.

22.11.2011, 22:18

Antoras

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Zitat:

Original von Mulder
(meine ich jetzt nicht abwertend, aber das sind Defizite, die wirklich schnell behoben werden müssen).

Mir ist bewusst, dass ich große Defizite habe aber umso mehr Aufgaben ich mache umso größer die Chance, dass ich die Defizite finden und ausmerzen kann.

Zitat:

Original von Mulder
PS: Wieso steht nun eigentlich plötzlich k³ im Nenner? Vorhin war es noch k². Was denn nun?

Gemeint war k², hatte mich da verschrieben.

Ich hab mich mal ein wenig in Bruchkürzungen eingelesen. Habe jetzt ein Ergebnis bekommen und glaube, dass es auch richtig ist:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2+3k+2}=\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(k+2)(k+1)}=\sum_{k=1}^\infty \frac{(k+1)+1-(k+1)}{(k+2)(k+1)}=\sum_{k=1}^\infty \frac{(k+1)+1}{(k+2)(k+1)}-\frac{k+1}{(k+2)(k+1)}=\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2}=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\ldots+\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)=\frac{1}{2}-\underset{\rightarrow 0}{\frac{1}{k+1}}\overset{k\rightarrow\infty }{\longrightarrow}\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

22.11.2011, 22:33

Mulder

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Das sieht doch schon viel besser aus. 1/2 ist richtig, ja. Freude

Aber vermeide vielleicht in Zukunft so ganz arg lange Zeilen in Latex. Es wird sehr unübersichtlich, wenn man immer seitlich scrollen muss, um alles lesen zu können. Dann lieber mal abbrechen und in der nächsten Zeile dann weiterschreiben.

23.11.2011, 12:06

Antoras

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Ok, werde versuchen das einzuhalten. Danke für deine Hilfe.

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