Reihenwert berechnen

21.11.2011, 21:36

matheanfängerin

Reihenwert berechnen

Meine Frage:
Hallo ihr Lieben, ich habe mal eine Frage und zwar habe ich eine Hausübung bekommen in der ich bei einer Aufgabe nicht vorran komme. :-( Ich würde mich freuen wenn ihr mir helfen könntet. Die Aufgabe lautet:
Berechnen Sie die Reihenwerte der Folgenden beiden Reihen:
(i) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=p+1}^\infty \frac{1}{n^{2}-p^{2} } \end{eqnarray*}$

(ii) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \left[\sum\limits_{k=0}^n (\frac{n}{k})(\frac{1}{2})^{n+k}\right] \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Bei der (i) würde ich das Majorantenkriterium verwenden aber ich weiß nicht wie ich anfangen soll.

edit: Latex-Klammern eingefügt.
LG sulo

21.11.2011, 21:41

HAL 9000

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Das Majorantenkriterium kann dir die Konvergenz bestätigen, es hilft dir aber nicht bei der Bestimmung des Reihenwertes. Nein, dazu solltest du den Summanden $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^2-p^2} \end{eqnarray*}$ einer Partialbruchzerlegung (hinsichtlich Variable $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ) unterziehen, was dann letztlich zu einer Teleskopreihe führt.

Bei ii) würde ich stark drauf tippen, dass anstelle von $\begin{eqnarray*} (\frac{n}{k}) \end{eqnarray*}$ der Binomialkoeffizient $\begin{eqnarray*} \binom{n}{k} \end{eqnarray*}$ gemeint ist. Augenzwinkern

21.11.2011, 21:54

matheanfängerin

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Danke erstmal für die schnelle Antwort. Wie geht man den bei einer Partialzerlegung vor? Ich weiß zwar was eine Partialsumme ist ( Glieder einer Folge heißen n-te Partialsumme) aber ich weiß nicht wie man sie zerlegt und worauf ich da achten muss... verwirrt

21.11.2011, 21:56

breezy

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die (ii) hab ich auch gestellt steht direkt neber unter / über deinem post. bei der 1. musst du den bruch ein wenig erweitern und dann mit partialbrüchen oder indexverschiebung arbeiten.

lg
ps auch an der tu xDDD?

21.11.2011, 21:57

HAL 9000

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Zitat:

Original von matheanfängerin
Ich weiß zwar was eine Partialsumme ist ( Glieder einer Folge heißen n-te Partialsumme) aber ich weiß nicht wie man sie zerlegt

Nein, das nicht. unglücklich

Da wir hier im Hochschulforum sind, nehme ich an, du hast (zumindest in der Schule) die Partialbruchzerlegung bei der Integration von gebrochen rationalen Funktionen kennengelernt! Genau das ist hier gemeint, nur mit "n statt x" (mal salopp gesprochen).

21.11.2011, 22:22

matheanfängerin

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Hmm... ok also ich soll mal mit den Partialreihen oder Indexverschiebung arbeiten. Danke. Ich werde heute mal versuchen durch Zerlegung der Partialsumme auf die Teleskopreihe zu kommen. Werde morgen mal meinen Rechenweg hier auflisten.

An Brezzy: Danke für deine Info und jap bin auch an der TU. XD

Vielen Dank an euch!!! Schönen Abend noch und bis Morgen.

22.11.2011, 17:13

matheanfängerin

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Also ich habe mal die Aufgabe berechnet:

\frac{1}{n^{2}- p^{2} }

1. Dritte binomische Formel im Zähler angewendet.
= \frac{1}{(n+p)(n-p)}

2. Sortiert nach Gliedern mit x und Gliedern ohne x.
= x= (a_{1} + a_{2})x +(a_{1} - a_{2})

3. Koefizientenvergleich angewendet:
Koeffizent von x ist 1 unglücklich

a_{1} + a_{2})= 1 und
das absoulte Glied ist Null: (a_{1} - a_{2})= 0

-Laut Berechnung müsste das raus kommen: a_{1} =\frac{1}{2}, a_{2} =\frac{1}{2}

4. Partialzerlegung wäre dann:
\frac{1}{n^{2}-p^{2}} =\frac{1}{2} * \frac{1}{n-p}+ \frac{1}{2} * \frac{1}{n+p}

Stimmt das? verwirrt

22.11.2011, 17:18

matheanfängerin

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Ups... natürlich habe ich die binomische Formel im Nenner angewendet. Big Laugh

22.11.2011, 17:40

breezy

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sieht gar nicht so falsch aus, allerdings habe ich statt deinen 1/2 irgendwie noch ein p im nenner stehen (sprich 1/2p)... (laut wolframalpha gehört das p auch in den nenner)

das 1/2p kannst du nun ausklammern und die summe über die beiden brüche 1/(n-p) bzw 1/(n+p) in 2 summen umschreiben und dann mit indexverschiebung und partialsummen betrachtung lösen (dann sind es 4 summen):
kleiner tipp: du willst bei deinen brüchen die p's wegbekommen. das geht indem du den start und den stopwert der summe änderst. hierbei gilt, wenn du bei den summenindizes addierst musst du in der gleichung subtrahieren und andersherum. bei der summe musst du beide indizes gleichzeitig verändern.

hoffe das war verständlich smile

der sinn dahinter ist dass du nicht die summe von 1/(n-p) "berechnest" sondern nur von 1/n. das p "wandert" ja dann in die summe.

22.11.2011, 18:33

matheanfängerin

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Vielen Dank, brezzy. Jetzt ist es viel verständlicher und ich kann weiter machen! Jeppi Tanzen

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