Gleichung beweisen (komplexe Zahlen)

22.11.2011, 09:58	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichung beweisen (komplexe Zahlen) Meine Frage: Hey Leute ich soll folgende Gleichung beweisen: $\begin{eqnarray} \| 1- \overline{\alpha} \lambda \|^2 - \|\alpha - \lambda\|^2 = (1-\|\alpha\|^2)(1-\|\lambda\|^2) \end{eqnarray}$ dabei sind $\begin{eqnarray} \alpha ; \lambda \in \mathbb C \end{eqnarray}$ Ich bin mir nicht sicher ob ich die komplexen Zahlen als a + bi schreiben soll, aber sonst kann ich ja irgendwie nicht viel machen! Meine Ideen: Ich dachte ich fange jetzt mal auf der linken Seite an und versuche die auf die rechte zu bringen: $\begin{eqnarray} (1-\|\alpha\|^2)(1-\|\lambda\|^2) = (1 - \|\lambda\|^2 - \|\alpha\|^2 + \|\alpha\|^2 \cdot \|\lambda\|^2) \end{eqnarray}$ lohnt es sich hier weiter zu machen?
22.11.2011, 14:08	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Das paßt so. Ich würde allerdings hier nicht direkt weiterrechnen, sondern einen neuen Ansatz mit der linken Seite machen. Du mußt nur $\begin{eqnarray} \|z\|^2 = z \overline{z} \end{eqnarray}$ verwenden (mehrmals) und beachten, daß die komplexe Konjugation mit den Grundrechenarten verträglich ist (z.B. $\begin{eqnarray} \overline{z \cdot w} = \overline{z} \cdot \overline{w} \end{eqnarray}$ , genauso für die anderen Grundrechenarten). Und auf $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ restringiert, ist die komplexe Konjugation die Identität. Nach wenigen Rechenschritten solltest du dann dasselbe erhalten wie mit deinem ersten Ansatz. Es folgt die Gleichheit.
22.11.2011, 17:53	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, vielen Dank für den guten Tipp! Danke!!!

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