V=Abb(R,R) --> lin. unabhängig, Erzeugendensystem & Basis

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22.11.2011, 13:02	Zazu	Auf diesen Beitrag antworten »
V=Abb(R,R) --> lin. unabhängig, Erzeugendensystem & Basis Meine Frage: Hi, folgende Aufgabe wurde mir gestellt: V=Abb(R,R), f1(x)=x², f2(X)=sin(x), f3(x)=e^x Ich soll nun herausfinden, ob eine lineare Unabhängigkeit besteht, ob es ein Erzeugendesystem ist und ob es eine Basis aufspannt. Meine Ideen: Muss ich mir als erstes jeweils Vektoren für die Fuktionen suchen, die dann einsetzen und dann die lin. Unabhängigkeit, usw. prüfen? Ich bin etwas irritiert..
22.11.2011, 13:40	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: V=Abb(R,R) --> lin. unabhängig, Erzeugendensystem & Basis hallo zazu, diese 3 funktionen sind natürlich linear unabhängig, man muss dazu natürlich die bekannte methode anwenden ax^2 + b sin(x)+c e^x=0 daraus folgt a=b=c=0. Um das hier nachzuweisen, setzt man für x geschickte werte ein, denn die gleichung muss ja für alle x gelten. Jetzt überleg mal weiter ... gruss ollie3
22.11.2011, 13:56	(:Zazu:)	Auf diesen Beitrag antworten »
Haha erst mal angemeldet So, vielen Dank für die super schnelle Antwort Mir ist allerdings nicht ganz klar, wie Du geschickte Werte definierst ^^ Steh hier ein bisschen auf'm Schlauch ..
22.11.2011, 14:00	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo zazu, ja, setz zum beispiel x=0, was erhälst du dann für eine gleichung? (denn wie gesagt, die gleichung muss ja für alle x-werte gelten). gruss ollie3
22.11.2011, 14:18	(:Zazu:)	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja daraus folgt a*0²+bsin(0)+e^0 --> das ergibt aber nicht 0, da e^0 1 ist oO was soll mir das also sagen?
22.11.2011, 14:24	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo zazu, du hast bei dem e^x noch das c vergessen. Und was kann man jetzt daraus schliessen?
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22.11.2011, 14:30	(:Zazu:)	Auf diesen Beitrag antworten »
Tja...da wird man von dummen Fehlern behindert -.- Danke schön
22.11.2011, 14:33	(:Zazu:)	Auf diesen Beitrag antworten »
Mh...damit wir der erste Teil klar...was ist mit dem Er.System? oO
22.11.2011, 14:38	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo zazu, halt, der beweis für die lineare unabhängigkeit ist noch nicht fertig, du musst jetzt noch zeigen, dass a und b auch gleich 0 sein müssen. Dazu musst du einen anderen geschickten wert für x einsetzen, und du darfst jetzt schon c=0 in deiner gleichung mitbenutzen.
22.11.2011, 14:47	(:Zazu:)	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß, wenn ich pi als nächstes einsetze, erhalte ich für sin(pi)=0 und somit auch für a, da pi² nicht 0 ergibt, richtig? Und somit wäre auch b=0, da die gesamte Gleichung auch 0 ergeben muss, oder?
22.11.2011, 14:52	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo zazu, wow, du hast es erfasst, jetzt ist alles richtig Und jetzt kommen wir zu dem nächsten punkt , das mit dem erzeugendensystem.
22.11.2011, 14:53	(:Zazu:)	Auf diesen Beitrag antworten »
puh schwere Geburt XD Danke für Deine Geduld
22.11.2011, 14:58	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo zazu, ich muss jetzt leider schluss machen, melde mich evt, heute abend oder morgen wieder. gruss ollie3
23.11.2011, 00:15	ray.montag	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, ich arbeite zufällig gerade an der gleichen Aufgabe. Ich habe jedoch raus, dass die drei Funktionen linear abhängig sind und nach Absprache mit meinen Tutor müsste das auch richtig sein. Denn: e^x ist immer ungleich 0, somit ist dein c natürlich immer 0 in ax^2+bsin(x)+ce^x=0. Somit reduziert sich die Gleichung auf ax^2+bsin(x)=0 Für dein Beispiel mit x=pi wäre b aber beliebig, denn bsin(pi)=b0 => b ist beliebig zu wählen. Des Weiteren ist das Ergebnis von x^2 und sin(x) immer eine reele Zahl, und damit wirst du auch immer ein a und ein b finden, sodass ax^2+b*sin(x)=0 ist, denn a und b sind ebenfalls reele Zahlen (Definition der Aufgabe), wobei a ungleich b ungleich 0 gilt.
23.11.2011, 00:30	ray.montag	Auf diesen Beitrag antworten »
Irgendwie wurde mir da Schwachsinn erzählt... Ich hab nochmal mein Skript durchgeschaut und da steht genau diese Methode, die erwähnt wurde, dass ich immer nach einem x suchen muss, sodass der Koeffizient 0 sein muss. Wenn ich das hinbekomme sind die Vektoren auch linear unabhängig.
23.11.2011, 08:16	halo369	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie hast du denn jetzt bei den Funktionen nachgerechnet, dass es ein erzegendensystem ist oder auch eine Basis???
23.11.2011, 08:27	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo leute, wollte die sache jetzt auch zu ende führen. Es ist so, dass schon jede einzelne von den 3 funktionen ein erzeugendensystem und auch eine basis bilden, denn man kann mit einem geeigneten vorfaktor und einem geschickt gewählten x jede beliebige reelle zahl erzeugen. Ich finde über das ergebnis braucht man sich nicht zu wundern, denn R ist ja als vektorraum betrachtet 1-dimensional, und wozu braucht man dann 3 basis"vektoren", die in diesem fall funktionen sind. gruss ollie3
23.11.2011, 10:08	ray.montag	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Anmerkung: Ich bin der Meinung, dass dies kein Erzeugendensystem ist, denn in einer anderen Aufgabe sollen wir zeigen, dass der Vektorraum V=Abb(R,R) nicht-endlich erzeugt ist. Dies ist auch logisch, denn der Vektorraum der Polynome ist Unterraum von V und Polynome können einen beliebig hohen Grad haben und sind somit nicht-endlich erzeugt. Und da gilt, dass die Dimension eines Unterrraum kleiner-gleich der Dimension des eig. Vektorraums ist, ist V auch nicht-endlich erzeugt.
23.11.2011, 10:20	halo369	Auf diesen Beitrag antworten »
Kannst du das mal zeigen mit den Abbildungen von R nach R?
23.11.2011, 10:22	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo ray, ich glaube du bringst da etwas durcheinander, Abb (R,R) bezeichnet ja die menge a l l e r abbildungen von R nach R, die es überhaupt geben kann, und das ist als vektorraum natürlich nicht-endlich erzeugt, in unserem fall dagegen soll man ja nur jede reellle zahl als linearkombination von 3 fest vorgegebenen funktionen darstellen können. gruss ollie3
23.11.2011, 11:29	ray.montag	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich interpretiere die Aufgabe anders. Ich kann ja auch gerne mal den Aufgabenzettel hochladen. Ich finde die Aufgabenstellung ist eindeutig so gemeint, dass man überprüfen soll, ob diese drei Fkt. eine Basis von V bilden.
23.11.2011, 11:47	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo ray, oh sorry, wenn es um abb (R,R) als zu erzeugenden vektorraum geht, hast du natürlich recht, ich dachte es ging nur um R als zu erzeugenden vektorraum. Jetzt ist der beweis natürlich einfach, man könnte 1000 gegenbeispiele angeben, die man so nicht erzeugen kann. gruss ollie3

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